Das Kalenderblatt 091120

19/11/2009 - 09:50 von WM | Report spam
Joseph Liouville zeigte 1844, dass transzendente Zahlen existieren. Er
bewies zu¬nàchst den heute nach ihm benannten Satz: Ist a ist eine
algebraische Zahl vom Grade n, so besitzt die Ungleichung

|a - u/v| < 1/v^(n+1) (1)

nur endlich viele rationale Lösungen u/v.

Ein Minimalpolynom p(x) der Irrationalzahl a besitzt keine ratio¬nale
Nullstelle u/v, denn andernfalls könnte p(x) durch den zugehörigen
Linearfaktor (x - u/v) divi¬diert werden, und es ergàbe sich als
Quotient ein Polynom q(x) kleineren Grades, das aber ebenfalls die
Wurzel a besàße.

Also ist der Wert des Minimalpolynoms von a für ein rationales
Argument x = u/v im¬mer von Null verschieden.

0 =/= |p(u/v)| >= 1/v^n (2)

Letzteres folgt mit v > 0 und weil der Zàhler ganzzahlig ist, aber
nicht verschwindet.

Nach dem Mittelwert¬satz gibt es zwischen der Nullstelle a und dem
größeren rationalen Abszissenwert u/v eine Stelle x, a < x < u/v, an
der die Funktion p(x) dieselbe Steigung besitzt wie die Sekante von
der Nullstelle zum Funktions¬wert p(u/v) an der Stelle u/v. Diese
Steigung p'(x) ist endlich und kann durch eine endliche, positive
Konstante C abgeschàtzt werden. Mit p(a) = 0 folgt

|p(u/v)/(a - u/v)| = p'(x)  C (3)

Setzen wir (2) in (3) ein, so ergibt sich (für v > 0)

1/v^n =< |a - u/v|*C (4)

(4) und (1) führen auf

1/(C*v^n) =< |a - v^n| < 1/v^(n+1)

und damit werden die (in jedem Falle als positiv voraussetzbaren)
Nenner v, welche (1) erfüllen können, durch die Konstante C in der
Ungleichung

v < C

beschrànkt. (1) kann nur von solchen Brüchen erfüllt werden, deren
Werte in der Nàhe der Irrationalzahl a liegen und deren Nenner nicht
größer als C sind. Das sind nur endlich viele, was zu beweisen war.

[J. Liouville: "Sur des Classes Trés Étendues de Quantités dont la
Valeur n'est ni Rationnelle ni même Réductible à des Irrationnelles
Algebriques", Comptes Rendus Acad. Sci. (Paris) 18 (1844) 883-885 und
910-911.]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU10.PPT#377,7,Folie 7

Beispiele: Die Grenzwerte der unendlichen Reihen (mit n = 1 ... oo)
SUM 1/2^(n!),
SUM 1/2^(2^n!),
SUM 1/b^(c^d^n!)
...
SUM 1/b^(c^...^f^n!)
...
sind transzendente Zahlen. Und ein paar andere wie e oder pi sind auch
bekannt.

Auf dem Feld der Transzendenzforschung ergab sich übrigens 1934 eine
merkwürdige Koinzidenz,
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU10.PPT#372,6,Folie 6
zwischen Russland und Deutschland, ebenso wie schon 1869.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU06.PPT#350,17,Folie 17

Anmerkung: Jede transzendente Zahl kann eineindeutig auf eine endliche
Folge von Symbolen (nàmlich ihre Definition) abgebildet werden. Die
Anzahl aller endlichen Folgen ist abzàhlbar.

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
19/11/2009 - 10:24 | Warnen spam
WM schrieb:

Die Anzahl aller endlichen Folgen ist abzàhlbar.



Das ist sowohl grammatikalisch falsch als auch inhaltlich.

Schade.
Gruß,
Rainer Rosenthal

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