Das Kalenderblatt 091121

20/11/2009 - 10:44 von WM | Report spam
Was die transfiniten Ordnungszahlen betrifft, ist es mir
wahrscheinlich, daß ich schon 1877 eine Vorstellung von ihnen gehabt
habe. Den Begriff der Abzàhlbarkeit bildete ich mir erst 1873.
[Cantor 1905, 31. Aug. an Jourdain]


Zum Gebrauch der Wendung "abzàhlbare Anzahl" bei Cantor.


Die Beschrànkung, dass jedes neu zu bildende Symbol alpha eine in der
ersten Classe abzàhlbare Anzahl von Zahlen vor sich haben soll, ist
nothwendig, um die zweite Classe zu erhalten. [...]
In der ersten Classe abzàhlbar sind alle Zahlen der zweiten Classe
welche kleiner sind als eine von ihnen. [...]
alle diese Zahlen < omega^omega sind in der ersten Classe abzàhlbar,
wie Sie sich durch das Verfahren überzeugen können, welches ich in
Borchardts Journal Bd. 77, pag 258 angewandt habe um zu zeigen, dass
alle reellen algebraischen Zahlen in der ersten Zahlenclasse abzàhlbar
sind [...]
Die Beschrànkung, dass jedes neu zu bildende Symbol alpha eine in der
ersten Classe abzàhlbare Anzahl von Zahlen vor sich haben soll, ist
nothwendig, um die zweite Classe zu erhalten.
[Cantor 1882, 12. Nov. an Mittag-Leffler]

Meine Unendlichkeitssymbole, welche nach einem bestimmten Bildungs-
resp. Entstehungsgesetz successive auf Grund vorangegangener Zahlen
und Unendlichkeitssymbole, letztere immer in abzàhlbar unendlicher
Anzahl, geschaffen werden,
[Cantor 1882, 17. Okt. an Mittag-Leffler ]

Der Ring [...] enthàlt alle abzàhlbaren Typen und zwar ist jeder
abzàhlbare Typus entweder ein Typus des Ringes {{dazu muss man
wissen, dass Cantor wohlgeordnete Typen als Ordinalzahlen bezeichnet,
mitunter auch als ganze Zahlen.}}
[Cantor 1907, 8. Aug. an Hilbert]

So haben wir nun in Formel (19) S zerlegt in eine endliche oder
abzàhlbar unendliche Anzahl [...]
[ E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen
und philosophischen Inhalts", Springer (1932), p. 243]

Apropos: Viele englischsprachige Lehrbücher, wie z. B. Fraenkel et al.
sprechen von countable sequence, countable ordinals usw.

Insbesondere seit nicht nur von Zahlenmengen, sondern auch von Zahlen
*als* Mengen gesprochen wird, ist mein unschuldiges Sàtzchen "Die
Anzahl aller endlichen Folgen ist abzàhlbar" nicht tadelnswert, nicht
zu tadeln und somit tadellos. Nicht einmal eine "unglückliche
Wortwahl" könnte ein Kritiker konstatieren - wenn es nur halb ein
Kenner wàre.

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
20/11/2009 - 11:59 | Warnen spam
WM schrieb:
Was die transfiniten Ordnungszahlen betrifft, ist es mir
wahrscheinlich, daß ich schon 1877 eine Vorstellung von ihnen gehabt
habe. Den Begriff der Abzàhlbarkeit bildete ich mir erst 1873.
[Cantor 1905, 31. Aug. an Jourdain]


Zum Gebrauch der Wendung "abzàhlbare Anzahl" bei Cantor.



Kann ich im Zitat nicht erkennen. Da steht nichts von abzàhlbarer
Anzahl.

Die Beschrànkung, dass jedes neu zu bildende Symbol alpha eine in der
ersten Classe abzàhlbare Anzahl von Zahlen vor sich haben soll, ist
nothwendig, um die zweite Classe zu erhalten. [...]



Ja, hier steht es. Zu bedenken ist allerdings, dass die naive Mengen-
lehre gerade erst im Entstehen ist, als diese Zeilen geschrieben wurden.
Umgangssprachlich ist ja auch nichts an "abzàhlbarer Anzahl" auszusetzen.
Wenn aber das aktual Unendliche Thema ist und genauer über Anzahlen bzw.
Erweiterungen des Zahlbegriffs diskutiert wird, dann sollte feiner
unterschieden werden. Es ist doch aus dem Zusammenhang klar, dass Cantor
oben von einer abzàhlbaren *Menge* von Zahlen spricht, das er aber Begriff
"Menge" noch nicht verwenden konnte oder wollte.

Insbesondere seit nicht nur von Zahlenmengen, sondern auch von Zahlen
*als* Mengen gesprochen wird, ist mein unschuldiges Sàtzchen "Die
Anzahl aller endlichen Folgen ist abzàhlbar" nicht tadelnswert, nicht
zu tadeln und somit tadellos. Nicht einmal eine "unglückliche
Wortwahl" könnte ein Kritiker konstatieren - wenn es nur halb ein
Kenner wàre.



Also, ein halber oder Viertel-Kenner bin ich allemal. Das sieht man schon
daran, dass ich nach mehreren Anlàufen kapiert habe, dass Dein tadelloser
Satz sogar richtig ist.

Ich gratuliere daher zu der gelungenen Wortwahl, die die Diskussion wohl-
tuend ins historische Umfeld einbettet.

Gruß,
Rainer Rosenthal


P.S. Mir hatten sich nur die Haarspitzen aufgestellt, weil ich meinte, Du
hàttest wieder einmal der Abzàhlbarkeit *aller* Folgen das Wort geredet.

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