Das Kalenderblatt 091123

22/11/2009 - 10:18 von WM | Report spam
Die Erörterung der intuitionistischen Anschauung werde abgeschlossen
durch Hinweis auf einen namentlich von Poincaré betonten und u.a. von
Russell aufgenommenen speziellen Gedanken, der heute nicht mehr im
Vordergrund des Interesses steht, aber noch einige Aufmerksamkeit
verdienen dürfte. In vielen der Fàlle, wo in der Mengenlehre und Logik
Widersprüche auftreten, wird ein spezieller Vertreter m eines gewissen
Allgemeinbegriffs unter Zuhilfenahme der Gesamtheit M aller möglichen
Vertreter jenes Allgemeinbegriffs definiert; man spricht dann von
einer nicht-pràdikativen Definition. [...] In die Definition der
umfassendsten Gammafolge einer Menge (aus Zermelos erstem Beweis des
Wohlordnungssatzes) geht die Gesamtheit aller Gammafolgen dieser Menge
ersichtlich ein.

[Fraenkel, Adolf: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin
(1923) 174]

Das ist zwar richtig, aber es ist gar nicht das Problem. Das Problem
ist, dass es (von speziellen und für Zermelos Beweis unwesentlichen
Ausnahmen abgesehen) für keine einzige überbzàhlbare Gammafolge einen
Existenzbeweis gibt.

Mit Zermelos (*) Schritt-Argument ergàbe sich zum Beispiel der Satz:
Alle Anfangsabschnitte A der wohlgeordneten Menge |R sind endlich.

Beweis (nach Zermelo (*), Schritt 5): Sei x aus |R \ A das auf A in
der Wohlordnung von |R folgende Element. Sei A U {x} der erste
unendliche Anfangsabschnitt der Menge |R. Widerspruch. Ein endlicher
Anfangsabschnitt mit einem weiteren Element vereinigt, ist ebenfalls
ein endlicher Anfangsabschnitt.

Diese Schlussweise ist falsch: Sei L die Vereinigung aller endlichen
Anfangsabschnitte von |R und sei x aus |R \ L das nàchste Element
aus einer Wohlordnung von |R, dann ist L U {x} nach Definition von L
kein endlicher Anfangsabschnitt mehr. Für endliches L ist L U {x}
aber eine endliche Menge. Also kann auch L nicht endlich sein.

Das Analoge geht für abzàhlbar Mengen: Sei L die Vereinigung aller
abzàhlbaren Anfangsabschnitte von |R und sei x aus |R \ L das nàchste
Element aus einer Wohlordnung von |R, dann ist L U {x} nach Definition
von L kein abzàhlbarer Anfangsabschnitt. Für abzàhlbares L ist L U
{x} aber eine abzàhlbare Menge. Also ist auch L nicht abzàhlbar.

Die Vereinigung aller abzàhlbaren Anfangsabschnitte ist somit keine
abzàhlbare Menge. Die Vereinigung aller abzàhlbaren gamma-Mengen ist
nicht abzàhlbar. Aber ist sie noch eine gamma-Menge, also
wohlgeordnet? Weshalb sollte sie? Wie oben gezeigt, versagt hier das
Zermelosche Schritt-Argument (das das "erste Element" und damit auch
dessen Vorgànger benutzt). Es bleibt lediglich die unbegründete
Annahme, dass auch in überabzàhlbaren Fàllen die Vereinigung von gamma-
Mengen eine gamma-Menge sei.

(*) E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann",
Math. Ann. 59 (1904) 514-516.

Gruß, WM
 

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#1 I challenge You I challenge You All
22/11/2009 - 11:18 | Warnen spam
On 22 Nov., 10:18, WM wrote:
Die Erörterung der intuitionistischen Anschauung werde abgeschlossen
durch Hinweis auf einen namentlich von Poincaré betonten und u.a. von
Russell aufgenommenen speziellen Gedanken, der heute nicht mehr im
Vordergrund des Interesses steht, aber noch einige Aufmerksamkeit
verdienen dürfte. In vielen der Fàlle, wo in der Mengenlehre und Logik
Widersprüche auftreten, wird ein spezieller Vertreter m eines gewissen
Allgemeinbegriffs unter Zuhilfenahme der Gesamtheit M aller möglichen
Vertreter jenes Allgemeinbegriffs definiert; man spricht dann von
einer nicht-pràdikativen Definition. [...] In die Definition der
umfassendsten Gammafolge einer Menge (aus Zermelos erstem Beweis des
Wohlordnungssatzes) geht die Gesamtheit aller Gammafolgen dieser Menge
ersichtlich ein.

[Fraenkel, Adolf: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin
(1923) 174]

Das ist zwar richtig, aber es ist gar nicht das Problem. Das Problem
ist, dass es (von speziellen und für Zermelos Beweis unwesentlichen
Ausnahmen abgesehen) für keine einzige überbzàhlbare Gammafolge einen
Existenzbeweis gibt.

Mit Zermelos (*) Schritt-Argument ergàbe sich zum Beispiel der Satz:
Alle Anfangsabschnitte A der wohlgeordneten Menge |R sind endlich.

Beweis (nach Zermelo (*), Schritt 5):    Sei x aus |R \ A das auf A in
der Wohlordnung von |R folgende Element. Sei A U {x} der erste
unendliche Anfangsabschnitt der Menge |R. Widerspruch. Ein endlicher
Anfangsabschnitt  mit einem weiteren Element vereinigt, ist ebenfalls
ein endlicher Anfangsabschnitt.

Diese Schlussweise ist falsch: Sei L die Vereinigung aller endlichen
Anfangsabschnitte  von |R und sei x aus  |R \ L das nàchste Element
aus einer Wohlordnung von |R, dann ist L U {x} nach Definition von L
kein endlicher Anfangsabschnitt mehr. Für endliches L ist L U {x}
aber eine endliche Menge. Also kann auch L nicht endlich sein.

Das Analoge geht für abzàhlbar Mengen: Sei L die Vereinigung aller
abzàhlbaren Anfangsabschnitte  von |R und sei x aus |R \ L das nàchste
Element aus einer Wohlordnung von |R, dann ist L U {x} nach Definition
von L kein abzàhlbarer Anfangsabschnitt. Für abzàhlbares L ist L U
{x}  aber eine abzàhlbare Menge. Also ist auch L nicht abzàhlbar.

Die Vereinigung aller abzàhlbaren Anfangsabschnitte ist somit keine
abzàhlbare Menge. Die Vereinigung aller abzàhlbaren gamma-Mengen ist
nicht abzàhlbar. Aber ist sie noch eine gamma-Menge, also
wohlgeordnet? Weshalb sollte sie? Wie oben gezeigt, versagt hier das
Zermelosche Schritt-Argument (das das "erste Element" und damit auch
dessen Vorgànger benutzt). Es bleibt lediglich die unbegründete
Annahme, dass auch in überabzàhlbaren Fàllen die Vereinigung von gamma-
Mengen eine gamma-Menge sei.

(*) E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann",
Math. Ann. 59 (1904) 514-516.

Gruß, WM



Der Begriff " wohlgeordnet " ist für mich sooooooooo hirnrissig.

Gemeint sind wohl Assoziativgesetz und Distributivgesetz.


WM, wenn du arbeitest und deine Partnerin fruchtbar ist, dann hast du
immer einen NACHFOLGER !

( schon wieder WOHLGEORDNET ! )

Wenn alle Zahlen gleichwertig sind, dann auch alle Menschen !!!

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