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Das Kalenderblatt 091124

23/11/2009 - 15:39 von WM | Report spam
Den hier vertretenen Standpunkt einer in letzter Linie auf Intuition
beruhenden produktiven Wissenschaft hat neuerdings auch Herr H.
Poincaré der Peanoschen "Logistik" gegenüber in einer Reihe von
Aufsàtzen*) geltend gemacht, in denen er auch dem Auswahlprinzip, das
er für ein unbeweisbares, aber unentbehrliches Axiom ansieht, durchaus
gerecht wird.**) Dabei ist er aber, weil seine Gegner sich
vorzugsweise der Mengenlehre bedienten, im Angriff soweit gegangen,
die ganze Cantorsche Theorie,
diese ursprüngliche Schöpfung genialer Intuition und spezifisch
mathematischen
Denkens, mit der von ihm bekàmpften Logistik zu identifizieren und ihr
ohne Rücksicht auf ihre positiven Leistungen {{als da wàren?}}
lediglich auf Grund der noch ungeklàrten "Antinomieen'' jede
Existenzberechtigung abzusprechen.***) [...] Nach Herrn Poincaré##)
soll aber eine Definition nur dann „pràdikativ und logisch allein
zulàssig sein, wenn sie alle solchen Gegenstànde ausschließt, welche
von dem definierten Begriffe "abhàngig" sind, d. h. durch ihn
irgendwie bestimmt werden können. Demnach hàtte in dem hier
angeführten Beispiele die Menge M, welche selbst erst durch die
Gesamtheit der Theta-Ketten bestimmt ist, von der Definition dieser
Ketten ausgeschlossen werden müssen, und meine Definition, welche M
selbst als Theta-Kette rechnet, wàre "nicht-pràdikativ" und enthielte
einen circulus vitiosus. {{Es geht nicht so sehr um die Definition,
sondern um die Voraussetzung Herr Zermelo. Vielleicht hilft Ihnen ein
Beispiel: Sie zeigen, dass man in einen elfstöckigen Autobus bequem
einsteigen kann, wenn man vom Dach eines zehnstöckigen Autobusses
kommt. Das ist richtig. Nur gibt es keine zehnstöckigen Autobusse.
Aber Sie behaupten, bewiesen zu haben, dass man in elfstöckige
Autobusse bequem einsteigen kann.}} In zwei ganz analogen Fàllen,
deren letzterer sich auf die "gamma-Mengen" eines Beweises von 1904
bezieht, wird dies ausdrücklich als Kritik meines Beweisverfahrens
ausgeführt.###) {{Poincaré konnte halt noch denken.}}
*) "Les mathématiques et la logique", Revue de Métaphysique et de
Morale t. 13; t. 14, p. 17, p. 294, p. 866.
**) ibid. 14, p. 311-313: ,,C'est donc un jugement synthétique a
priori sans Iequel la théorie cardinale serait impossible, aussi bien
pour les nombres finis que pour les nombres infinis."
***) ibid. 14, p. 316: „Il n'y a pas d'infini actuel; les Cantoriens
l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction." {{s.
KB090620}}
##) Rev. d. Mét. e. d. Mor. 14, p. 307.
###) ibid. p. 314 und 315.
[Ernst Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung",
Mathematische Annalen (1908) 107 - 128]

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
23/11/2009 - 18:59 | Warnen spam
WM schrieb:
.
**) ibid. 14, p. 311-313: ,,C'est donc un jugement synthétique a
priori sans Iequel la théorie cardinale serait impossible, aussi bien
pour les nombres finis que pour les nombres infinis."
***) ibid. 14, p. 316: „Il n'y a pas d'infini actuel; les Cantoriens
l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction."

Genau! Das Auswahlaxiom wird von vielen als unentbehrlich
angesehen, wàhrend der Begriff des Aktualunendlichen in der
Mathematik abgeschafft wurde. Soweit ich sehe,
wird aber beim Beweis der Äquivalenz von Auswahlaxiom, Zornschem
Lemma und Wohlordnungssatz gar nicht zwischen endlichen und unendlichen
Mengen unterschieden (suche den Wortbstandteil "endlich" in
http://www.math.uni-kiel.de/geometr...l/Zorn.pdf)

Gruß
Michael

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