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Das Kalenderblatt 091206

05/12/2009 - 11:19 von WM | Report spam
Wenn den mathematischen Objekten ein Sein zukommt, so müssen sie
entweder in den sinnlichen Gegenstànden existieren, wie manche
wirklich annehmen, oder von den sinnlichen Gegenstànden abgesondert
bestehen, eine Auffassung, die gleichfalls ihre Vertreter hat [...]
Daß sie nun unmöglich in den sinnlichen Gegenstànden existieren
können, und daß diese Auffassung eine ganz willkürliche ist, das haben
wir schon, wo wir die Probleme erörtert haben, auf Grund dessen
dargelegt, daß zwei Körper nicht einen und denselben Raum einnehmen
können, und daß ferner konsequenterweise auch die übrigen Kràfte und
Gebilde in den sinnlichen Gegenstànden stecken müßten und keine von
ihnen eine dem Sinnlichen gegenüber abgesonderte Existenz haben
könnte.
[Aristoteles: Metaphysik 13, Kapitel 1-2, Übersetzung von Adolf
Lasson, Jena 1907]
http://www.aristoteles-heute.de/sei...physik.htm
Ich danke Peter Luschny für den Hinweis auf diese Quelle.

Potentiell oder aktual unendliche Existenz: Wie ist der Unterschied am
besten zu verstehen?

Wir betrachten dazu den binàren Baum
0
/\
0 1
/\ /\
0 1 0 1
...
und fàrben alle Pfade der Form
P(0) = 0,111...
P(1) = 0,0111...
P(2) = 0,00111...
P(3) = 0,000111...
...
gelb (weil das eine sehr auffallende Farbe ist).

Im Rahmen der aktualen Unendlichkeit verbleibt noch der Grenzpfad P
(oo) = 0,000 Da nur alle Listenpfade gànzlich vergilbt sind,
sollte der Grenzpfad als nicht in der Liste enthaltenes Individuum
auch nicht ganz gelb sein. Da aber kein einziger ungefàrbter Knoten in
P(oo) nachweisbar ist, behaupten die Anhànger der aktualen
Unendlichkeit, dass die Pfade P(n) der obigen Liste zwar alle Knoten
von P(oo) gelb fàrben, aber kein einzelner Listenpfad existiert, der
allein alle Knoten gelb fàrbt.

Viele Matheologen, die sich gegenseitig für kompetente
Mengentheoretiker halten, vermögen hier nàmlich folgenden Unterschied
zu erkennen:

1) A Knoten E Pfad
aber
2) ~E Pfad A Knoten

Diese Unterscheidung basiert auf einer geflissentlichen
Bedeutungsvertauschung. Der Allquantor bedeutet in (1) "jeder
Einzelne", in (2) hingegen "alle zusammen". Doch dieser Trick
erfordert in (1) eine imaginiert-quantorisierte potentielle Existenz
(wàhle einen Knoten aus - alle und damit ein letzter existieren ja
nicht) und ist bei der in (2) gleichzeitig behaupteten statisch-
aktualer Existenz (nun darfst du alle Knoten betrachten) leicht als
bewusste oder fahrlàssige Tàuschung des Publikums erkennbar.

Wenn also *alle* Knoten von P(oo) statisch-aktual existierten, dann
gàbe es auch einen Listenpfad mit allen Knoten.

Beweis. Jeder Pfad P(n) enthàlt alle Knoten des Pfades P(oo) vom
Wurzelknoten bis zum n-ten Nachwurzelknoten. Jeder von P(n) gefàrbte
Knoten des Pfades P(oo) gehört auch zu jedem Pfad P(m > n). Induktion
zeigt für jeden Knoten K von P(oo) mit endlicher Ordnungszahl (und
andere gibt es im binàren Baum nicht): Der Knoten K und alle seine
Vorgànger gehören zu einem Pfad der Liste. Jeder und alle Vorgànger alle.

Daher ist die Existenz der vollstàndigen Fàrbung des Pfades P(oo)
unlösbar mit der Existenz eines alle Knoten fàrbenden Pfades P(n)
verknüpft. Da ein solcher Pfad aber nicht existiert, existiert auch
der Pfad P(oo) nicht. Es gibt überhaupt keine vollendet unendliche
Folge und damit keine aktuale Unendlichkeit. (Demnach bezeichnen auch
die drei Pünktchen bei jedem der Pfade P(n) nur eine potentiell
unendliche Folge.)

Die nicht gleichzeitig mögliche Existenz aller Pfade P(n) der obigen
Liste und des Pfades P(oo) im binàren Baum ist übrigens eine einfache
Konsequenz der schon von Aristoteles gemachten Beobachtung, "daß zwei
Körper nicht einen und denselben Raum einnehmen können". (s. o.)

Gruß, WM
 

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#1 Mengenlehrer
05/12/2009 - 15:31 | Warnen spam
WM schrieb:
Wir betrachten dazu den binàren Baum
0
/\
0 1
/\ /\
0 1 0 1
...
und fàrben alle Pfade der Form
P(0) = 0,111...
P(1) = 0,0111...
P(2) = 0,00111...
P(3) = 0,000111...
...
gelb (weil das eine sehr auffallende Farbe ist).

Im Rahmen der aktualen Unendlichkeit verbleibt noch der Grenzpfad P
(oo) = 0,000 Da nur alle Listenpfade gànzlich vergilbt sind,
sollte der Grenzpfad als nicht in der Liste enthaltenes Individuum
auch nicht ganz gelb sein. Da aber kein einziger ungefàrbter Knoten in
P(oo) nachweisbar ist, behaupten die Anhànger der aktualen
Unendlichkeit, dass die Pfade P(n) der obigen Liste zwar alle Knoten
von P(oo) gelb fàrben, aber kein einzelner Listenpfad existiert, der
allein alle Knoten gelb fàrbt.

Viele Matheologen, die sich gegenseitig für kompetente
Mengentheoretiker halten, vermögen hier nàmlich folgenden Unterschied
zu erkennen:

1) A Knoten E Pfad
aber
2) ~E Pfad A Knoten




A Topf E Deckel (für jeden Topf gibt's einen passenden Deckel)

aber

~E Deckel A Topf (es gibt keinen Deckel, der auf alle Töpfe passt)

Allquantor und Existenzquantor kommutieren eben nicht.
Dafür reichen sogar endlich viele Töpfe und Deckel.

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