Das Kalenderblatt 091218

17/12/2009 - 09:12 von WM | Report spam
Galileo Galilei (1564 - 1642) hat in seinem "Dialogo sopra i due
massimi sistemi" [Florenz 1632] die Protagonisten über die Anzahl von
Quadrawurzeln diskutieren lassen und in seinen "Discorsi e
Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze" [1638,
Elsevirii, Leida (ein Verlag mit langer Tradition also)] das Kontinuum
bestehend aus aktual unendlich vielen Unteilbaren, sowohl non vacui
als auch vacui, beschrieben. Deswegen wollen wir die Protagonisten
nochmals zum Thema belauschen.

pipi (zu) lang
oder
Warum findet man pi nicht in Cantors Liste?

Sagredo: Besitzt pi eine Dezimaldarstellung, nennen wir sie pipi, die
sich von jeder anderen Zahl unterscheidet?

Simplicio: Jein. Für jede Zahl gibt es eine Dezimaldarstellung mit
einer Ziffer, die von pipi abweicht, aber es gibt keine Ziffer von
pipi, die von der Dezimaldarstellung jeder anderen Zahl abweicht.

Sagredo: Damit ist meine nàchste Frage eigentlich schon beantwortet:
Kann man eine vollstàndige Dezimaldarstellung pipi, also eine die sich
von der jeder anderen Zahl unterscheidet, für pi hinschreiben?

Simplicio: Nein.

Salviati: Diese Frage wird wohl selten so klar beantwortet, weil sie
so selten gestellt wird. Man kann pipi also nicht in eine Liste
schreiben, weder in eine Zeile, noch in die Diagonale?

Simplicio: So ist es. Trotzdem gibt es die Zahl pi.

Salviati: Das bestreite ich nicht. Doch gibt es keine Möglichkeit, pi
als pipi in eine Zeile zu schreiben oder als Diagonalzahl zu gewinnen.
Das ist die wahre Ursache, weshalb pipi in Cantors Liste niemals
vorkommt. Mit der Hàufigkeit von irrationalen Zahlen hat das also
nichts zu tun. Es liegt allein an ihrer esoterischen Existenz, die in
einigen (wenigen) Fàllen schon Transzendenz zu nennen wàre.

Simplicio: Falsch! Es sind nicht wenige. Es gibt überabzàhlbar viele
transzendente Zahlen!

Salviati: Es? Wo gibt es sie denn? Als Ziffernfolgen existieren sie
nicht. Als Definitionen existieren können nur abzàhlbar viele Zahlen
existieren.

Simplicio: Es gibt sie eben.

Das ist der gegenwàrtige Stand im Dialogo sopra i due sistemi di
numerazione

Der dezimale Baum könnte nun die Entscheidung bringen:
Jeder Pfad dort repràsentiert eine Dezimaldarstellung einer reellen
Zahl aus dem Intervall [0, 1]. Gibt es keine Dezimaldarstellung pipi
von pi, dann gibt es auch keinen Pfad für pi. Dann gibt es auch nicht
überabzàhlbar viele transzendente Zahlen (denn es wird ja die
Überabzàhlbarkeit der Dezimaldarstellungen behauptet).

Gibt es aber doch einen Pfad pipi für pi, dann ist pipi die
Vereinigung aller seiner endlichen Anfangsabschnitte und wird bei der
Konstruktion des Baums mit unterlaufen - als Grenzpfad der Vereinigung
der Folgenpfade. Doch solche Grenzprozesse sind selten, denn sie
bedürfen extrem langer Vorbereitung. Deswegen sind Grenzpfade niemals
hàufiger als Folgenpfade.

Denn wie jeder Mathematiker weiß: Jede konvergente unendliche Folge
muss mindestens ein Folgenglied enthalten und darf höchstens einen
Hàufungspunkt besitzen; der wird auch Grenzwert der Folge genannt.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Vogel
20/12/2009 - 08:07 | Warnen spam
WM wrote in news:81cd08c5-eab3-4a16-8f51-
:


Warum findet man pi nicht in Cantors Liste?

Sagredo: Besitzt pi eine Dezimaldarstellung, nennen wir sie pipi, ..



Andere nennen so etwas eher Kacki.
Könntest du dein Pipi auch woanders machen?
Wascht du dir hinterher auch immer die Hànde?
Immer schön waschen, sonst gibt es Ärger mit der Aufsehertante.




Selber denken macht klug.

Ähnliche fragen