Das Kalenderblatt 100110

09/01/2010 - 10:57 von WM | Report spam
Meine FOM-Episode (10)
{{Als Reaktion auf meinen Beitrag
Who was the first to accept undefinable individuals in mathematics?
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom...13464.html
erhielt ich am 11.03.2009 folgende private Zuschrift:}}

(this is not a FOM post)
That's interesting. Where is this letter to be found?
NN

{{Meine Antwort:}}

This letter can be found (in German) in
Georg Cantor Briefe, H. Meschkowski, W. Nilson (eds.), Springer,
Berlin (1991), p. 446.


Lieber Freund.

Leider rückt, wie mir meine Tochter sagte, der Moment unseres
Wiedersehens (in Folge unsrer spàten Abreise, am 13. ds., nach
Stöberhai) in die Ferne.
Ich hàtte mit Ihnen unter Anderm gern über die Königschen und
Poincareschen Versuche in der Mengenlehre gesprochen, die meiner
Meinung nach auf irrigen Grundsàtzen beruhen und nur geeignet sind,
Verwirrung anzurichten.
König will zwei Arten von reellen Zahlen unterscheiden; solche, die
„endliche Definitionen" zulassen und solche, die „unendliche
Definitionen" erfordern.
Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach eine endliche, d. h.
sie erklàrt den zu bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl
bereits bekannter Begriffe
B1, B2, B3, ...,Bn.
„Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind
Undinge.
Wàre Königs Satz, daß alle „endlich definirbaren" reellen Zahlen einen
Inbegriff von der Màchtigkeit alef_0 ausmachen, richtig, so hieße
dies, das ganze Zahlencontinuum sei abzàhlbar, was doch sicherlich
falsch ist.
Es fragt sich nun, welcher Irrthum liegt dem angeblichen Beweise
seines falschen Satzes zu Grunde?
Der Irrthum (welcher sich auch in der Note eines Herrn Richard im
letzten Hefte der Acta mathematica findet, welche Note Herr Poincaré
in dem letzten Hefte der Revue de Métaphysique et de Morale mit
Emphase herausstreicht) ist, wie mir scheint, dieser:
Es wird vorausgesetzt, dass das System {B} der Begriffe B, welche
eventuell zur Definition von reellen Zahlindividuen herangezogen
werden müssen, ein endliches oder höchstens abzàhlbar unendliches sei.
Diese Voraussetzung muß ein Irrthum sein, da sich sonst der falsche
Satz ergeben würde: „das Zahlencontinuum hat die Màchtigkeit alef_0"
Irre ich mich, oder habe ich Recht?
Mit herzlichen Grüßen an Ihre Frau und Franz
Ihr
G. Cantor.
Für Ihre letzte Sendung vielen Dank.

P.S. Daran, daß die Gesammtheit aller Ordnungszahlen und ebenso die
Gesammtheit aller Alefs inconsistente Vielheften sind (denen daher
keine Zahlen zukommen) nimmt Herr Poincare großen Anstoß.
Ich bin an der Thatsache, die mir, wie Sie wissen, làngst bekannt ist,
unschuldig. {{Ich bin an der Tatsache, dass es überhaupt keine aktual
unendlichen Mengen gibt, weil sich daraus widersprüchliche Mathematik
ergibt, unschuldig. Und erst recht bin ich unschuldig an der Tatsache,
dass das Universum zu klein ist, um mehr als endlich viele
Definitionen zu fassen, so dass es nur endlich viele natürliche und
sonstige Zahlen gibt, denn eine undefinierbare Zahl ist ein Unding.}}
Leider ist mir in der vorletzten Annalenabhandlung der Lapsus linguae
passirt an einer Stelle von der „Menge aller Alefs" zu sprechen.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
09/01/2010 - 13:15 | Warnen spam
WM schrieb:
...
Und erst recht bin ich unschuldig an der Tatsache,
dass das Universum zu klein ist, um mehr als endlich viele
Definitionen zu fassen, so dass es nur endlich viele natürliche und
sonstige Zahlen gibt, denn eine undefinierbare Zahl ist ein Unding.



In der Mathematik ist es durchaus üblich, für verschiedene Dinge
denselben Begriff zu verwenden. Der Mathematiker kann also
aus einem überabzàhlbaren Reservoir von Ideen schöpfen.
Allerdings nur, wenn es ihm gegeben ist ;-)

Gruß
Michael

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