Das Kalenderblatt 100117

16/01/2010 - 13:51 von WM | Report spam
Meine FOM-Episode (17)
{{Als Reaktion auf meinen Beitrag zum Thema
The boundary of objective mathematics
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom...13491.html
erhielt ich am 19. 3. 2009 folgende private Zuschrift:}}

You wrote: "When I represent all the real numbers of the unit interval
by the paths of an infinite binary tree with a countable number of
nodes, every studentŽunderstands that there cannot be more paths than
nodes (because it is really not hard to understand that argument)."

Huh? There *are* more paths than nodes; there are an uncountable
number of paths. {{Ja, man trifft immer wieder auf diese Behauptung.
Es ist wohl recht verborgen, dass Cantors Diagonalverfahren nur für
jede endliche Zahl n zeigt, dass die Diagonalziffernfolge
d_1, d_2, ..., d_n nicht in den ersten n Zeilen seiner Liste enthalten
ist. Da aber ebenso für jede endliche Zahl n gilt, dass die
Ziffernfolge
d_1, d_2, ..., d_n keine reelle Zahl definiert, muss man zum
"Verstàndnis" von Cantors Schluss folgende Schizophrenie anwenden:
Aus Cantors Beweis schließt man, dass n sich bis ins Unendliche
erstreckt und die Diagonalziffernfolge also nicht in der unendlichen
Liste enthalten ist. Bezüglich der Erkenntnis, dass die Ziffernfolge
d_1, d_2, ..., d_n keine reelle Zahl definiert, schließt man hingegen,
dass sich n nicht bis ins Unendliche erstreckt und die unendliche
Ziffernfolge "am Ende" doch eine reelle Zahl definiert.}}

{Meine Antwort:}
Let us say there should be more paths than nodes if Cantor's proof is
correct and if actual infinity exists and if logic works in case of
actually infinite sets. You see, there are three conditions to be
satisfied. But they are not. It is really easy to see that the binary
tree (except the root) solely consists of elements like
|
o
/ \
with one (1) line coming in and two (2) lines going out. The number of
distinct paths cannot be larger than the number of lines. We can
calculate the increase per element, i.e., the difference: lines going
out minus lines coming in minus nodes is 2 - 1 - 1 = 0 for every
element. Your assertion implies
SUM{n = 1 to oo} (2 - 1 - 1) > 1,
in fact you claim 2^aleph_0 as result of the sum. In my eyes that is
false a claim.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
16/01/2010 - 17:16 | Warnen spam
WM schrieb:
...
We can calculate the increase per element, i.e., the difference: lines
going
out minus lines coming in minus nodes is 2 - 1 - 1 = 0 for every
element. Your assertion implies
SUM{n = 1 to oo} (2 - 1 - 1) > 1,
in fact you claim 2^aleph_0 as result of the sum.



Du musst so zàhlen: Nach Weglassen der beiden Pfade der Lànge 1
hat man zwei binàre Bàume. Mit jedem deiner Schritte verdoppelst
Du also die Anzahl der noch nicht gezàhlten Pfade.

Gruß
Michael

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