Das Kalenderblatt 100130

29/01/2010 - 10:51 von WM | Report spam
Gehören alle Punkte einer Menge P zu einer andern Menge Q, so sagen
wir: P sei in Q enthalten oder auch P sei ein Divisor von Q, Q ein
Multiplum von P. Sind P1, P2, P3, ... irgendwelche Punktmengen in
endlicher oder unendlicher Anzahl, so gehört zu ihnen sowohl ein
kleinstes gemeinsames Multiplum, welches wir mit

M(P_1, P_2, P_3, ...) [die "Vereinigungsmenge"]

bezeichnen und welches die Menge ist, die aus allen verschiedenen
Punkten von P_1, P_2, P_3, ... besteht und sonst keine anderen Punkte
als Elemente besitzt, [...]
[Georg Cantor: "Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr.
2" Math. Annalen 17, S. 355 - 358 (1880)]

Die Reihe (I) der positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, . . . , nü, . . .
hat ihren Entstehungsgrund in der wiederholten Setzung und Vereinigung
von zugrunde gelegten als gleich angesehenen Einheiten; [...] So
widerspruchsvoll es daher wàre, von einer größten Zahl der Klasse (I)
zu reden, hat es doch andrerseits nichts Anstößiges, sich eine neue
Zahl, wir wollen sie omega nennen [*], zu denken, welche der Ausdruck
dafür sein soll, daß der ganze Inbegriff (I) in seiner natürlichen
Sukzession dem Gesetze nach gegeben sei. [...] Es ist sogar erlaubt,
sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze zu denken, welcher die
Zahlen nü zustreben, wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als
daß omega die erste ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen nü
folgt, d. h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen nü.

[*] Das Zeichen oo, welches ich in Nr. 2 dieses Aufsatzes gebraucht
habe, ersetze ich von nun an durch omega, weil das Zeichen oo schon
vielfach zur Bezeichnung von unbestimmten [d. h. potentiellen]
Unendlichkeiten verwandt wird. {{Der Sündenfall làsst sich also sehr
gut lokalisieren.}}

[Georg Cantor: "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre
(Leipzig 1883), § 11.]


Offener Brief an alle Mengenlehrer.

Wenn eine abzàhlbare Menge A in Bijektion mit einer anderen Menge X
steht, so ist die Menge X ebenfalls abzàhlbar. Wenn eine Surjektion
von A auf X besteht, so ist X höchstens abzàhlbar unendlich.

Die aktual unendliche, linear geordnete Menge |N aller natürlichen
Zahlen n ist eine abzàhlbare Vereinigung ihrer Anfangsabschnitte

{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... U {1, 2, 3, ..., n} U ... = |N

und niemand zweifelt, dass |N sàmtliche Untermengen U_k der Form
U_k = {p^n | p ist k-te Primzahl, n in |N}
ebenso vollstàndig enthàlt, wie alle Singletons {n} der natürlichen
Zahlen und auch alle Anfangsabschnitte {1, 2, 3, ..., n} der
natürlichen Zahlen.

Die Menge aller Anfangsabschnitte von |N ist abzàhlbar.
Ihre Vereinigung enthàlt alle Mengen U_k als Untermengen.
Kein Anfangsabschnitt enthàlt mehr als eine Untermenge U_k, die sein
Vorgànger nicht enthàlt.
Also ist bewiesen, dass die Menge der U_k höchstens abzàhlbar
unendlich ist.

Dasselbe Prinzip wenden wir auf den vollstàndigen unendlichen binàren
Baum an. Die aktual unendliche, linear geordnete Menge B seiner Knoten
K_n ist eine abzàhlbare Vereinigung aller Konfigurationen B_n

B_1 U B__2 U B3 U ... U B_n U ... = B.

Dabei bezeichnen die Konfigurationen B_n die Anfangsabschnitte der
geordneten Knotenmenge des binàren Baums

0,
0 1
0 1 0 1
...

in der folgenden linearen Ordnung

K_0
K_1 K_2
K_3 K_4 K_5 K_6
...

Beispiele:
B_1 = {K_0, K_1} enthàlt die endlichen Pfade 0, und 0,0.
B_3 = {K_0, K_1, K_2, K_3} enthàlt die endlichen Pfade 0 und 0,0 und
0,1 und 0,00.

Die Menge aller Anfangsabschnitte B_n von B ist abzàhlbar.
Ihre Vereinigung enthàlt alle Knotenmengen unendlicher Pfade wie
0,000... mit der Knotenmenge {K_0, K_1, K_3, K_7, ...} als
Untermengen.
Kein Anfangsabschnitt B_n enthàlt mehr als eine Knotenmenge eines
unendlichen Pfades, die sein Vorgànger nicht enthàlt.
Also ist bewiesen, dass die Menge der Knotenmengen unendlicher Pfade
höchstens abzàhlbar unendlich ist.

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
29/01/2010 - 11:48 | Warnen spam
WM schrieb:

U_k = {p^n | p ist k-te Primzahl, n in |N}

Also ist bewiesen, dass die Menge der U_k höchstens abzàhlbar
unendlich ist.



Ich musste kràftig das Unkraut wegschneiden, um diesen interessanten
Satz in voller Schönheit entdecken zu können.

Eine kritische Anmerkung sei erlaubt: gab es jemanden, der das bisher
bezweifelt hat? Es ist nun mal so, dass sich noch viele andere
Mengenfamilien denken lassen. Und die Gesamtheit all dieser Teilmengen
von |N, die ist um einiges reichhaltiger als sich die Schulweisheit vor
Cantor hat tràumen lassen.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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