Das Kalenderblatt 100301

28/02/2010 - 18:53 von WM | Report spam
Here's a paradox of infinity noticed by Galileo in 1638. It seems that
the even numbers are as numerous as the evens and the odds put
together. Why? Because they can be put into one-to-one correspondence.
The evens and odds put together are called the natural numbers. The
first even number and the first natural number can be paired; the
second even and the second natural can be paired, and so on. When two
finite sets can be put into one-to-one correspondence in this way,
they always have the same number of members.

Supporting this conclusion from another direction is our intuition
that "infinity is infinity", or that all infinite sets are the same
size. If we can speak of infinite sets as having some number of
members, then this intuition tells us that all infinite sets have the
same number of members.

Galileo's paradox is paradoxical because this intuitive view that the
two sets are the same size violates another intuition which is just as
strong. {{Nein, das ist ein Beweis. Dieser Beweis zeigt, dass jeder
Anfangsabschnitt der natürlichen Zahlen weniger gerade als ganze
Zahlen enthàlt. Die auf der Bijektion fußende Intuition mit
gegenteiligem Ergebnis setzt ein vollendetes Unendliches voraus, was
leider zur Grundlage der Matheologie geworden ist, die leider, leider
heutzutage weite Teile der Mathematik okkupiert hat, aber trotzdem
lediglich ein Widerspruch und damit unbrauchbar ist (ex falso
quodlibet), wenn er es auch leider, leider, leider verstanden hat,
sein wesentliches Merkmal vor den Augen von sonst kritischen
Mathematikern zu verbergen und wie ein geschickter Virus sein
zerstörerisches Werk einzuleiten.}} Clearly, the even numbers seem
less numerous than the natural numbers, half as numerous to be
precise. Why? Because we can obtain the evens by starting with the
naturals and deleting every other member. Needless to say, when we
delete every other member of a finite set, the result is a set which
is half as numerous as the original set. [...] The evens and the
naturals are not finite but infinite sets. By this I only mean that
counting them one at a time will never come to the end; there is no
greatest even number, and no greatest natural number. {{Und niemals
alle. Unter dieser Pràmisse betsteht kein Problem, kein Widerspruch
und keine Anzahl, aber nun kommt der Taschenspielertrick, die
Quantorenvertauschung: Nun gibt es doch alle natürlichen Zahlen, so
dass man in einer ganz berühmt gewordenen Liste keine einzige Zeile
hinzufügen darf. Und damit nimmt das Elend seinen Lauf.}}

[...] Cantor's theory faced intense opposition in the late 19th
century, from mathematicians as well as from philosophers and
theologians. It wasn't just denied and disbelieved; it was hated. Yet
despite this heat, no opponent of the theory has been able to show
that self-nesting is contradictory for infinite sets. The objections
that self-nesting is contradictory for finite sets, or counter-
intuitive for infinite sets, are clearly beside the point. {{Genau um
die unendlichen Untermengen geht es! Die aktual unendliche Menge der
natürlichen Zahlen muss aktual unendlich viele disjunkte Untermengen
besitzen: Alle Potenzen von p, wo p eine Primzahl ist, bilden eine
solche Untermenge. Doch in keiner Abzàhlung der natürlichen Zahlen
tritt eine solche Untermenge auf. Erst am Ende "sind alle da".}}
Today, Cantor's theory is standard mathematics even though there are
still a few holdouts {{deren Kardinalzahl wàchst undwàchst und
wàchst ...}}.

[St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59]
http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm#galileo

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Willis
28/02/2010 - 21:39 | Warnen spam
Am 28.02.2010 18:53, schrieb WM:

Ich nehm den Literaturhinweis

http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm#galileo



mal an den Anfang, Peter Suber schreibt über sich:

"Until May 2003 I was a professor of philosophy at Earlham College,
where I had taught since 1982. I also taught computer science and law.
Although I have left full-time teaching, I am still a research professor
at Earlham and still work full-time in the academic universe. My
philosophical interests (formerly, my teaching interests) lie chiefly in
the history of modern European philosophy, roughly from Montaigne to
Nietzsche; Kant and Hegel; the history of western skepticism from Sextus
Empiricus to the 20th century; epistemological and ethical issues
related to skepticism, such as fictionalism, ideology, self-deception,
and the ethics of belief; the logical, epistemological, ethical, and
legal problems of self-reference; the metatheory of first-order logic;
the ethics of liberty, paternalism, consent, and coercion; criminal law
and tort law; and the philosophy of law."

Er ist also Philosphiedozent und hat lobenswerterweise Kant, Hegel und
Nietzsche gelesen. Hoffentlich auf Deutsch. Denn jeder, der versucht,
eine Übertragung von - sagen wir - Hegel zu lesen, wird sehr schnell
verzweifeln. Man verzweifelt ja sogar schon, wenn man das im Original zu
verstehen versucht.

Jedenfalls ist Suber kein Mathematiker.

Here's a paradox of infinity noticed by Galileo in 1638. It seems that
the even numbers are as numerous as the evens and the odds put
together. Why? Because they can be put into one-to-one correspondence.
The evens and odds put together are called the natural numbers. The
first even number and the first natural number can be paired; the
second even and the second natural can be paired, and so on. When two
finite sets can be put into one-to-one correspondence in this way,
they always have the same number of members.



Naja. Wenn "number" "Anzahl" statt "Màchtigkeit" bedeuten soll, hat man
schon ein Problem.
Offenbar kannte Galileo aber implizit den Begriff der Bijektion, das
wusste ich nicht, danke für den Hinweis.

Supporting this conclusion from another direction is our intuition
that "infinity is infinity", or that all infinite sets are the same
size. If we can speak of infinite sets as having some number of
members, then this intuition tells us that all infinite sets have the
same number of members.



Folgerichtig.

Galileo's paradox is paradoxical because this intuitive view that the
two sets are the same size violates another intuition which is just as
strong. {{Nein, das ist ein Beweis. Dieser Beweis zeigt, dass jeder
Anfangsabschnitt der natürlichen Zahlen weniger gerade als ganze
Zahlen enthàlt. Die auf der Bijektion fußende Intuition mit
gegenteiligem Ergebnis setzt ein vollendetes Unendliches voraus, was
leider zur Grundlage der Matheologie geworden ist, die leider, leider
heutzutage weite Teile der Mathematik okkupiert hat, aber trotzdem
lediglich ein Widerspruch und damit unbrauchbar ist (ex falso
quodlibet), wenn er es auch leider, leider, leider verstanden hat,
sein wesentliches Merkmal vor den Augen von sonst kritischen
Mathematikern zu verbergen und wie ein geschickter Virus sein
zerstörerisches Werk einzuleiten.}}



Nein, das ist kein Beweis! Wenn etwas nachweislich der Intuition
widerspricht beweist es, dass irgendwas mit der Intuition nicht stimmt.
Eine Menge heißt unendlich, wenn es eine Bijektion zu einer ihrer
(echten) Teilmengen gibt, was ist daran so schwer zu verstehen?

Clearly, the even numbers seem
less numerous than the natural numbers, half as numerous to be
precise. Why? Because we can obtain the evens by starting with the
naturals and deleting every other member. Needless to say, when we
delete every other member of a finite set, the result is a set which
is half as numerous as the original set. [...] The evens and the
naturals are not finite but infinite sets. By this I only mean that
counting them one at a time will never come to the end; there is no
greatest even number, and no greatest natural number.



Das ist richtig, und dann kommst du:

{{Und niemals
alle. Unter dieser Pràmisse besteht kein Problem, kein Widerspruch
und keine Anzahl, aber nun kommt der Taschenspielertrick, die
Quantorenvertauschung:



Hàhh??

Nun gibt es doch alle natürlichen Zahlen, so
dass man in einer ganz berühmt gewordenen Liste keine einzige Zeile
hinzufügen darf. Und damit nimmt das Elend seinen Lauf.}}



Da hast du recht, das Elend nimmt seinen Lauf, allerdings anders als du
denkst.

[...] Cantor's theory faced intense opposition in the late 19th
century, from mathematicians as well as from philosophers and
theologians. It wasn't just denied and disbelieved; it was hated. Yet
despite this heat, no opponent of the theory has been able to show
that self-nesting is contradictory for infinite sets. The objections
that self-nesting is contradictory for finite sets, or counter-
intuitive for infinite sets, are clearly beside the point.



Das ist völlig richtig. Berechtigte Einwànde dagegen gelten für endliche
Mengen, bei unendlichen Mengen ist die Behauptung in der Tat kontraintuitiv.
Und was machst du daraus?

{{Genau um
die unendlichen Untermengen geht es! Die aktual unendliche Menge der
natürlichen Zahlen muss aktual unendlich viele disjunkte Untermengen
besitzen: Alle Potenzen von p, wo p eine Primzahl ist, bilden eine
solche Untermenge. Doch in keiner Abzàhlung der natürlichen Zahlen
tritt eine solche Untermenge auf. Erst am Ende "sind alle da".}}



Es gibt kein Ende, es gibt keine Zeit und es gibt keinen Ort.

Today, Cantor's theory is standard mathematics even though there are
still a few holdouts {{deren Kardinalzahl wàchst und wàchst und
wàchst ...}}.

[St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59]



Gruß Rainer

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