Das Kalenderblatt 100313

12/03/2010 - 10:55 von WM | Report spam
{{zum binàren Baum:}} In jeden Knoten làuft ein Pfad hinein und zwei
Pfade kommen heraus.
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Im binàren Baum passiert nichts anderes als die wiederholte Wirkung
dieses einfachen Elementes. Die Zahl der Zuwàchse an unterscheidbaren
Pfaden ist notwendig identisch mit der Zahl der Knoten. [...]

NN: "Nun, warum haben gerade Berufsmathematiker da Probleme?"

Ganz einfach. Sie haben gelernt, dass Cantors Beweis richtig ist, sie
haben bemerkt, dass er wunderschön ist (auch ich habe ihn früher, in
den ersten 15 Jahren meiner Lehrtàtigkeit, als Beispiel für die Größe
des menschlichen Geistes gepriesen) und sie haben nicht bemerkt, dass
es im Unendlichen keine eindeutige Beweislage gibt. Dazu kommt, dass
die Meinungen von non-main-stream Autoritàten so sorgfàltig vor ihnen
verborgen werden wie die Segnungen des Kapitalismus in Karl-Eduard von
Schnitzlers Schwarzem Kanal, falls Sie den noch kennen.

Und wie gesagt, nicht alle:

"Mathematics is common sense.", "A proof is any completely convincing
argument."
(Erret Bishop 1985, Berufsmathematiker)

"... classical logic was abstracted from the mathematics of finite
sets and their subsets Forgetful of this limited origin, one
afterwards mistook that logic for something above and prior to all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. This is the fall and original sin of
[Cantor's] set theory " (Hermann Weyl, Berufsmathematiker,
Nachfolger Hilberts in Göttingen.)

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
13/03/2010 - 08:55 | Warnen spam
WM wrote:

{{zum binàren Baum:}} In jeden Knoten làuft ein Pfad hinein und zwei
Pfade kommen heraus.
|
o
/ \
Im binàren Baum passiert nichts anderes als die wiederholte Wirkung
dieses einfachen Elementes. Die Zahl der Zuwàchse an unterscheidbaren
Pfaden ist notwendig identisch mit der Zahl der Knoten. [...]

NN: "Nun, warum haben gerade Berufsmathematiker da Probleme?"

Ganz einfach. Sie haben gelernt, dass Cantors Beweis richtig ist, sie
haben bemerkt, dass er wunderschön ist (auch ich habe ihn früher, in
den ersten 15 Jahren meiner Lehrtàtigkeit, als Beispiel für die Größe
des menschlichen Geistes gepriesen) und sie haben nicht bemerkt, dass
es im Unendlichen keine eindeutige Beweislage gibt. Dazu kommt, dass
die Meinungen von non-main-stream Autoritàten so sorgfàltig vor ihnen
verborgen werden wie die Segnungen des Kapitalismus in Karl-Eduard von
Schnitzlers Schwarzem Kanal, falls Sie den noch kennen.

Und wie gesagt, nicht alle:

"Mathematics is common sense.", "A proof is any completely convincing
argument."
(Erret Bishop 1985, Berufsmathematiker)

"... classical logic was abstracted from the mathematics of finite
sets and their subsets Forgetful of this limited origin, one
afterwards mistook that logic for something above and prior to all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. This is the fall and original sin of
[Cantor's] set theory " (Hermann Weyl, Berufsmathematiker,
Nachfolger Hilberts in Göttingen.)

Gruß, WM



"Niemand kann eine unendliche Menge anders beschreiben als
durch Angabe von Eigenschaften, welche für die Elemente der
Menge charakteristisch sind: niemand eine Zuordnung zwischen
unendlich vielen Dingen stiften ohne Angabe eines Gesetzes, d. h.
einer Relation, welche die zugeordneten Gegenstànde miteinander
verknüpft. Die Vorstellung der unendlichen Menge als einer durch
unendlich viele einzelne willkürliche Wahlakte zusammengebrachten,
kolligierten und nun vom Bewußtsein als Ganzes überblickten „Ver-
sammlung'' ist unsinnig; die „Unerschöpflichkeit" liegt im Wesen
des Unendlichen. Unsere Auffassung ist die: der Übergang von
der ,, Eigenschaft'' zur ,, Menge" (derjenigen Dinge, welche die Eigen-
schaft besitzen ) bedeutet lediglich, daß man dem rein logischen gegen-
über den sachlichen Standpunkt zur Geltung bringt, d. h. die sach-
liche — und nur auf Grund von Sachkenntnissen festzustellende —
Übereinstimmung (im „Umfang", wie die Logiker sagen) anstatt der
logischen Sinnesgleichheit als maßgebend betrachtet."

"Wir können unsere Ausführungen insbesondere anwenden auf
jene Kategorie idealer Gegenstànde, die wir natürliche Zahlen nennen; ...
Für jede mathematische Disziplin ist es charakteristisch, daß
1) für sie ein derartiger Operationsbereich zugrunde liegt, wie wir
ihn hier von Anfang an vorausgesetzt haben, daß diesem 2) stets
die natürlichen Zahlen samt der sie verknüpfenden Beziehung f
assoziiert werden, und daß 3) über diesem kombinierten Operations-
bereich durch den ev. sogar beliebig oft iterierten mathematischen
Prozess ein Reich neuer idealer Gegenstànde, von Mengen und
funktionalen Zusammenhàngen, aufgebaut wird. Die alte Erklàrung
der Mathematik als der Lehre von Zahl und Raum hat man, der
neueren Entwicklung unserer Wissenschaft entsprechend, für zu eng
befunden; dennoch ist kein Zweifel, daß auch in solchen Disziplinen
wie der reinen Geometrie, der Analysis situs, der Gruppentheorie usw.
zu den behandelten Gegenstànden von vornherein die natürlichen
Zahlen in Beziehung gebracht werden. Wir setzen daher fortan
voraus, daß unserer Untersuchung eine oder mehrere Gegenstands-
kategorien zugrunde liegen, deren eine jedenfalls die der natürlichen
Zahlen ist."

"Den auftretenden Eigenschaften entsprechen gemàß § 4 die ein-
dimensionalen Zahlmengen, und durch den angedeuteten Prozeß
werden also im gleichen Sinne auch alle möglichen Mengen natür-
licher Zahlen in eine abgezàhlte Reihe geordnet. Dies, scheint mir,
ist der richtige Kern der Richardschen Antinomie, wie wir ihn hier
auf Grund unserer durch die Erzeugungsprinzipe geleisteten sach-
lichen Pràzisierung des Begriffs der „endlichen Detinition" heraus-
schàlen können. Dagegen wird die Abzàhlbarkeit aller Zahlmengen
in einem ganz andern und, wie ich glaube, für die Mathematik
allein in Frage kommenden Sinn durch den Cantorschen Beweis in
der Tat widerlegt. Es existiert in unserem Operationsbereich keine
binàre Zahlrelation R(xy) von folgender Art: zu jeder (einer ab-
geleiteten Eigenschaft entsprechenden eindimensionalen) Zahlmenge
existiert eine Zahl a so beschaffen, daß jene Zahlmenge mit der-
jenigen identisch ist, welche der Eigenschaft R(xa) entspricht (der
Menge aller Zahlen x, die zu a in der Beziehung R(xa) stehen).
Der Cantorsche Beweis dieses Satzes besteht einfach darin, daß man
die der Eigenschaft R(xx) entsprechende Zahlmenge betrachtet: ihr
kann gewiß eine Zahl a in der geforderten Weise nicht zugehören. —
Fassen wir den Begriff der Abzàhlbarkeit der Anweisung dieses
Beispiels gemàß, so liegt natürlich gar knn Grund vor, anzunehmen,
daß in jeder unendlichen Menge eine ahxàhlbare Teilmenge enthalten sein
müßte: eine Konsequenz, vor der ich durchaus nicht zurückschrecke."

Dem Autor dieser Zeilen mag eine nicht dem "mainstrem" konforme Konzeption
des Mengenbegriffs vorgeschwebt haben. Von Mückenheim/Storzschem Geschwalle
ist er aber meilenweit entfernt. In dem Begriff der "Gegenstandskategorie"
der natürlichen Zahlen erkennt er offenbar keine Storzschen
Widersprüchlichkeiten; und unter die in dieser Gegenstandskategorie
versammelten Gegenstànde, also den natürlichen Zahlen, fàllt selbstredend
kein "unendlicher". Auch ist er offenbar nicht der Ansicht, daß "es im
Unendlichen keine eindeutige Beweislage gibt" - was nicht bedeutet, daß er
alle "mainstream"-konformen Schlußweisen "im Unendlichen" für zulàssig
hielte. Aber die hier relevanten Differenzierungen gehen über das
Mückenheimsche Fassungsvermögen weit hinaus. Herr Professor Mückenheim
versteht von diesen Dingen nicht mehr als der Hund, der den Mond anbellt,
von Astronomie. Ach ja, es handelt sich beim oben zitierten Autor um
Hermann Weyl, Das Kontinuum, p.15,17,19.


Ralf
Neueste Forschungsergebnisse aus deutschen Spitzenhochschulen. Heute von
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, Mathematikkoryphàe der FH
Augsburg: "Funktionen sind Beschreibungen. Verschieden [sic] Beschreibungen
können zu gleichen Funktionen führen."

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