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Das Kalenderblatt 100328

27/03/2010 - 08:24 von WM | Report spam
Über den Unterschied der Beweise von Cantor und von mir

___________________________

Cantor teilt die Menge aller reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1]
in eine abzàhlbare Menge A und den Rest R.

Die Menge A wird in Form einer Folge vulgo Liste angeordnet und eine
Diagonalzahl erzeugt, so dass sich jede Ziffer der Diagonalzahl von
der entsprechenden Ziffer der Zeilenzahl unterscheidet. Cantor zeigt
also für jedes n in |N, dass der endliche Anfangsabschnitt der
Diagonalzahl nicht mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der ersten
n Zahlen aus A übereinstimmt, oder, was auf dasselbe hinauslàuft:
Cantor zeigt, dass jeder endliche Anfangsabschnitt der Diagonalzahl
mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der Zahlen aus R (oder einer
der noch folgenden Zahlen aus A) übereinstimmt.

Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte wird geschlossen,
dass alle in A noch folgenden Zahlen ausgeschlossen werden können und
die ganze Diagonalzahl in R ist.

-

Ich stelle alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1] als Pfade im
Binàren Baum dar. Ich teile die Menge aller Pfade in eine abzàhlbare
Menge A und den Rest R.

Die Menge A wird benutzt, um alle Knoten des Binàren Baums zu
überdecken. Mit jedem seiner Knoten wird zwangslàufig auch jeder
endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades überdeckt. Ich zeige also, dass
jeder endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades mit dem endlichen
Anfangsabschnitt eines der Pfade aus A übereinstimmt.

Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte jedes Pfades wird
aber hier nicht geschlossen, dass jeder ganze Pfad in A (und damit die
Menge R leer) ist.



Transfinite Mathematik ist halt Gewohnheitssache - und mein Beweis ist
ungewohnt. Das ist der Unterschied der Beweise von Cantor und von mir.

Gruß, WM
 

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#1 Kruno Sever
27/03/2010 - 11:53 | Warnen spam
WM schrieb:
Über den Unterschied der Beweise von Cantor und von mir
___________________________

Cantor teilt die Menge aller reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1]
in eine abzàhlbare Menge A und den Rest R.

Die Menge A wird in Form einer Folge vulgo Liste angeordnet und eine
Diagonalzahl erzeugt, so dass sich jede Ziffer der Diagonalzahl von
der entsprechenden Ziffer der Zeilenzahl unterscheidet. Cantor zeigt
also für jedes n in |N, dass der endliche Anfangsabschnitt der
Diagonalzahl nicht mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der ersten
n Zahlen aus A übereinstimmt, oder, was auf dasselbe hinauslàuft:
Cantor zeigt, dass jeder endliche Anfangsabschnitt der Diagonalzahl
mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der Zahlen aus R (oder einer
der noch folgenden Zahlen aus A) übereinstimmt.

Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte wird geschlossen,
dass alle in A noch folgenden Zahlen ausgeschlossen werden können und
die ganze Diagonalzahl in R ist.

-

Ich stelle alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1] als Pfade im
Binàren Baum dar. Ich teile die Menge aller Pfade in eine abzàhlbare
Menge A und den Rest R.

Die Menge A wird benutzt, um alle Knoten des Binàren Baums zu
überdecken. Mit jedem seiner Knoten wird zwangslàufig auch jeder
endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades überdeckt. Ich zeige also, dass
jeder endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades mit dem endlichen
Anfangsabschnitt eines der Pfade aus A übereinstimmt.

Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte jedes Pfades wird
aber hier nicht geschlossen, dass jeder ganze Pfad in A (und damit die
Menge R leer) ist.





Das ist die kohàrenteste Darstellung deines Standpunktes, die ich bisher
gesehen habe. Ich habe aber Verbesserungsvorschlàge:

Die Vergleichbarkeit beider Argumente kann man bereits deshalb
anzweifeln, weil du die Rollen von A und R vertauscht. Die Annahmen an A
und R sind aber nicht gleich: A ist abzàhlbar und R unterliegt keinerlei
weiteren Einschrànkungen. Das mag vielleicht rettbar sein, erfordert
aber zumindest noch weitere Erklàrung deinerseits.

Entscheidender ist aber, dass du Cantor's Argument noch einmal negierst,
um die Analogie mit deinem Argument hervorzustellen, etwas was meines
Wissens von Cantor (oder spàteren Verbesserungen) nicht gemacht wurde.
Die Negation ist zwar lokal korrekt von dir durchgeführt worden, aber
die Folgerung, die du dann ziehst gilt nur unter weiteren
Voraussetzungen, die bei Cantor gelten, von dir in deinem Argument aber
komplett ignoriert werden - und das ist genau der Grund, warum es hier
so ausschweifende Diskussionen über deine Argumentation gibt.

Versuch's doch mal umgekehrt: formulier mal dein Argument über
Gleichheit der Anfangsabschnitte in A als Ungleichheit der
Anfangsabschnitte im Rest R. Deine bisherigen "Argumente" im binàren
Baum liefen darauf hinaus, dass du alle Elemente im Rest R (aus meiner
Sicht) willkürlich als sinnlos/nicht existent deklariert hast. Wenn aber
deine Umformulierung von Cantor's Argument tatsàchlich nur eine
àquivalente Umformulierung ist, sollte es doch auch andersherum
funktionieren, oder?

Wenn du das machst, sieht man vielleicht klarer, wo es hakt. Aber selbst
wenn nicht, ist dein vorgeschlagener Beweis zumindest nàher am
tatsàchlichen Cantor-Argument, und deine Gegner haben weniger
Berechtigung schon die Vergleichbarkeit der beiden Argumente anzuzweifeln.

Kruno

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