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Das Kalenderblatt 100331

30/03/2010 - 18:48 von WM | Report spam
Die vorliegende zweite Auflage ist eine durchgesehene Version der
ersten Auflage. Stil und Umfang blieben weitgehend unveràndert, doch
wurden Erlàuterungen pràzisiert, Druckfehler korrigiert und die
Interpunktion im Bereich von Formeln vereinheitlicht.
[...] Die Definition der Stetigkeit ist nun so gefasst, dass
diskontinuierliche Funktionen, vor allem Folgen, nicht als stetig
gelten. Da in diesem Buch die reellen Funktionen im Vordergrund
stehen, erscheint mir diese Abweichung vom heute üblichen Gebrauch
gerechtfertigt.

Da moderne Axiomensysteme leider zu mancherlei wirklichkeitsfernen
Konsequenzen führen,
sollte eine wirklichkeitsnahe Mathematik aus den Grundlagen entwickelt
werden, aus denen sie tatsàchlich entstanden ist, nàmlich aus dem
Zàhlen von Einheiten und dem Zeichnen von Linien. Denn die Mathematik
verdankt ihre Entstehung der Abstraktion aus Beobachtungen der
Wirklichkeit. Eine Aussage wie „I + I = II“ muss nicht aus einem über
viele Seiten sich hinziehenden Beweise hergeleitet werden. Diese
Aussage selbst ist eine viel natürlichere
Grundlage der Arithmetik als irgendein dazu erdachtes Axiom. Sie kann
mit einem Abakus zwingender bewiesen werden als durch jede noch so
tiefgründige Kette von logischen Schlüssen.

Im Zuge ihrer Axiomatisierung wurde die Mathematik auf Georg Cantors
Lehre von den transfiniten Zahlen aufgebaut, die er nach eigener
Aussage entwickelte, um die von ihm vermuteten aktualen, d. h.
vollendeten Unendlichkeiten in der Natur und jedem noch so kleinen,
ausgedehnten Teil des Raumes beschreiben zu können [1]. Im Lichte
moderner Naturerkenntnis ist aber klar geworden, dass die Wirklichkeit
nichts enthàlt, worauf transfinite Zahlen angewandt werden könnten. Im
geistigen Gesamtbilde unseres Jahrhunderts wirkt das aktual Unendliche
geradezu anachronistisch [2]. Die Endlichkeit des zugànglichen
Universums führt aber auch zu der Erkenntnis, dass die Mathematik wie
jede andere Wissenschaft gezwungen ist, mit endlichen Mitteln
auszukommen.

[...] Die Mathematik steht nicht außerhalb der Wirklichkeit. Es hilft
wenig, die Existenz aktual unendlicher Mengen axiomatisch zu fordern
und so die Vollstàndigkeit der reellen Zahlen zu „beweisen“. Damit
behebt man den Mangel ebenso wenig, wie ein Kaufmann seine Bilanz
durch Anhàngen einiger Nullen aufbessern kann – wie Immanuel Kant in
einem àhnlichen Zusammenhang feststellte [8]. Das wirklich zugàngliche
„Kontinuum“ besitzt eine körnige Struktur. Die Korngröße hàngt von der
verfügbaren Rechenkapazitàt ab. Dem mit einem Abakus allein
ausgerüsteten Mathematiker stellt sie sich als 1 dar, denn ihm sind
nur ganze Zahlen zugànglich. Glücklicherweise ist die Körnung in der
Regel fein genug, um ohne nachteilige Auswirkungen zu bleiben. Ebenso
wie die Quantisierung der Erdbahn für astronomische Probleme ohne jede
Relevanz ist und die molekulare Struktur von Butter deren
Portionierbarkeit nicht merklich beschrànkt, wird die prinzipielle
Unsicherheit von Zahlen ihren im Eingangszitat genannten Zweck nicht
beeintràchtigen. In der Regel genügt schon die zehnstellige
Genauigkeit des Taschenrechners oder die 100-stellige Genauigkeit
einfacher Rechenprogramme. Die Kenntnis von 10^100 Stellen wird man
àußerst selten anstreben und bei irrationalen Zahlen niemals
erreichen.

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 2. Auflage,
Oldenbourg, München (2010)]

http://d-nb.info/1001110153

Gruß, WM
 

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#1 Vogel
02/04/2010 - 08:38 | Warnen spam
WM wrote in news:8898fd7c-6629-4715-9c55-
:


[...] Die Mathematik steht nicht außerhalb der Wirklichkeit. Es hilft
wenig, die Existenz aktual unendlicher Mengen axiomatisch zu fordern



Nichts in diesem Universum ist real aktuell unendlich.
Unendlichkeit ist eine Denkhilfe um Aussagen umfassender zu machen.




Selber denken macht klug.

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