Das Kalenderblatt 100414

13/04/2010 - 10:08 von WM | Report spam
Denn gerade die Irrationalzahl und der mit ihr so eng verbundene
Begriff der Stetigkeit scheinen mir doch durch ihre eminente
Fruchtbarkeit in der gesamten Mathematik ihre Existenzberechtigung
làngst hinreichend bewiesen zu haben und tàglich von neuem zu
beweisen.
[O. Perron: "Was sind und sollen die irrationalen Zahlen?", Jahresber.
DMV. 16 (1907)]

Im Verlauf unserer Untersuchungen ist uns schon mehrmals eine
Eigenschaft begegnet, die eine Funktion f haben und die man kurz so
beschreiben kann: aus x_n --> xi folgt stets f(x_n) --> f(xi). Eine
derartige Funktion nannten wir stetig. [212]

Die alltàgliche Stetigkeitsvorstellung besagt u. a., daß "stetige"
Verànderungen oder Ablàufe keinen abrupten, jàhen Schwankungen
unterworfen sind. [214]

Die auf X definierte Funktion f ist genau dann in xi stetig, wenn es
zu jedem x in X mit |x - xi| < delta ein delta = delta(eps) > 0 gibt,
so daß

für alle x in X mit |x - xi| < delta immer |f(x) - f(xi) < eps
ausfàllt. [215]

[Harro Heuser: "Lehrbuch der Analysis, Teil 1", Vieweg+Teubner, 17.
Aufl. (2009)]

Die Definition der Stetigkeit ist nun so gefasst, dass
diskontinuierliche Funktionen, vor allem Folgen, nicht als stetig
gelten. Da in diesem Buch die reellen Funktionen im Vordergrund
stehen, erscheint mir diese Abweichung vom heute üblichen Gebrauch
gerechtfertigt. [V]

Von besonderem Interesse sind stetige Funktionen. Eine Funktion ist
dann stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann. Das
zeichnerische Prüfverfahren scheitert allerdings in manchen Fàllen, z.
B. bei schnell oszillierenden Funktionen. Zur formalen Prüfung der
Stetigkeit gibt es zwei àquivalente Definitionen, die Epsilon-Delta-
Definition und die Folgen-Definition.
Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 in D,
wenn es zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für
alle x in |R mit
0 < |x – x0| < delta gilt |f (x) – f (x0)| < eps.
Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass
für alle x in D (nicht |R) mit |x – x0| < delta gilt | f (x) – f (x0)|
< eps. Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was jedoch dem
Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen zuwiderlàuft.
Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 in D,
wenn für jede Folge (xn) mit xn =/= x0 und Grenzwert x0 gilt: lim[xn--

x0] f (xn) = f (x0). Da dies für jede Folge gelten muss, kann man


auch lim[x-->x0] f (x) = f (x0) schreiben. Gilt dies nicht für jede
Folge oder existiert keine Folge (xn) mit xn =/= x0 und Grenzwert x0,
so ist die Funktion nicht stetig an der Stelle x0.
Definition. Die Funktion f (x) ist nicht stetig an der Stelle x0 in
D, wenn es eine Zahl eps > 0 gibt, so dass zu jeder Zahl delta > 0 ein
x in |R existiert mit 0 < |x – x0| < delta und | f (x) – f (x0)| !<
eps . Hinweis: Die Bedingung | f (x) – f (x0)| !< eps bedeutet nicht
allein | f (x) – f (x0)| >= eps , sondern schließt auch den Fall ein,
dass f (x) nicht definiert ist.

Ist eine Funktion an der Stelle x0 nicht erklàrt, also x0 nicht in D,
so ist sie dort auch nicht stetig, z. B. f (x) = x/x ist unstetig an
der Stelle x0 = 0. [199f]

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester" Oldenbourg, 2.
Aufl. (2010)]

http://www.oldenbourg-wissenschafts...1845646.de

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
13/04/2010 - 21:22 | Warnen spam
WM wrote:

Mückenheim und Stetigkeit - gestern hat das jemand angerissen, und heute
beweist Herr Professor Mückenheim ein weiteres mal, daß er's nicht kann, in
seinem Machwerk "für die ersten Semester":

Die Definition der Stetigkeit ist nun so gefasst, dass
diskontinuierliche Funktionen, vor allem Folgen, nicht als stetig
gelten. Da in diesem Buch die reellen Funktionen im Vordergrund
stehen, erscheint mir diese Abweichung vom heute üblichen Gebrauch
gerechtfertigt. [V]



Wenn man "diskontinuierliche Funktionen, vor allem Folgen" nicht betrachten
möchte, dann làßt man es halt. Deshalb braucht man aber Definitionen nicht
so zu fassen, daß sie für solche Funktionen nicht anwendbar sind.

Von besonderem Interesse sind stetige Funktionen. Eine Funktion ist
dann stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann. Das
zeichnerische Prüfverfahren



Was zum Henker soll das denn sein? Daß man "den Graphen in einem Zug
zeichnen kann" ist eine Veranschaulichung des Stetigkeitsbegriffs, oder
eine Absichtserklàrung: Der Stetigkeitsbegriff soll dieses Durchzeichnen in
einem Zuge irgendwie wiederspiegeln. Aber das ist kein "Prüfverfahren". Wie
zeichnet man denn den Graphen einer Funktion? Man markiert erst mehr oder
weniger viele seiner Punkte, wozu man die entsprechenden Funktionswerte
berechnet, und dann verbindet man diese Punkte schwungvoll durch eine
elegante Linie. Was wird dadurch "geprüft"? Garnichts.

scheitert allerdings in manchen Fàllen, z.
B. bei schnell oszillierenden Funktionen. Zur formalen Prüfung der
Stetigkeit gibt es zwei àquivalente Definitionen, die Epsilon-Delta-
Definition und die Folgen-Definition.
Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 in D,
wenn es zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für
alle x in |R mit
0 < |x – x0| < delta gilt |f (x) – f (x0)| < eps.
Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass
für alle x in D (nicht |R) mit |x – x0| < delta gilt | f (x) – f (x0)|
< eps.



Ja. Weil man nàmlich mehr nicht fordern kann. Weil für diese x ein
Funktionswert definiert sein muß, da sonst der Ausdruck |f (x) – f (x0)|
sinnlos ist. Und das ist nun mal genau dann der Fall, wenn x e D. Man
könnte allenfalls in der Definition verlangen, daß D ein offenes Intervall
um x0 enthàlt.

Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was jedoch dem
Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen zuwiderlàuft.



Siehe oben. Es sind nach obiger Definition aber auch niemals Funktionen
stetig, deren Defintionsbereich ein abgeschlossenes Intervall ist.

Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 in D,
wenn für jede Folge (xn) mit xn =/= x0 und Grenzwert x0 gilt: lim[xn--
x0] f (xn) = f (x0). Da dies für jede Folge gelten muss, kann man


auch lim[x-->x0] f (x) = f (x0) schreiben.



Nein. Richtig wàre sowas wie "Den Sachverhalt, daß das für jede Folge gilt,
drücken wir formal so aus"

Gilt dies nicht für jede
Folge oder existiert keine Folge (xn) mit xn =/= x0 und Grenzwert x0,



Solche Folgen gibt es zuhauf. Nur liegen die xn nicht unbedingt im
Definitionsbereich von f. Aber diese letzte Bedingung taugt ja auch wieder
nur dazu, um völlig überflüssigerweise die Defintion für Fàlle, die ohnehin
nicht interessieren ("Indexfunktionen") unbrauchbar zu machen.

so ist die Funktion nicht stetig an der Stelle x0.
Definition. Die Funktion f (x) ist nicht stetig an der Stelle x0 in
D, wenn es eine Zahl eps > 0 gibt, so dass zu jeder Zahl delta > 0 ein
x in |R existiert mit 0 < |x – x0| < delta und | f (x) – f (x0)| !<
eps . Hinweis: Die Bedingung | f (x) – f (x0)| !< eps bedeutet nicht
allein | f (x) – f (x0)| >= eps , sondern schließt auch den Fall ein,
dass f (x) nicht definiert ist.



Das sollte 1. keine Defintion sein, da es eine Folgerung aus der bereits
gegebenen Defintion ist (oder falsch), und 2. widerspricht der "Hinweis"
sàmtlichen Gepflogenheiten mathematischer Notation und Terminologie. Hier
wird durch die Hintertür in blödsinnig verklausulierter Form genau die
Bedingung eingeführt, die man schon ganz zu Anfang hàtte bringen müssen
(wenn man es denn so machen will), nàmlich, wie schon erwàhnt, daß D ein
offenes Intervall um x0 umfaßt.

Ist eine Funktion an der Stelle x0 nicht erklàrt, also x0 nicht in D,
so ist sie dort auch nicht stetig, z. B. f (x) = x/x ist unstetig an
der Stelle x0 = 0. [199f]



Nein. Stetig oder unstetig ist eine Funktion ausschließlich an Stellen ihres
Definitionsbereichs. An Stellen außerhalb ihres Defintionsbereichs ist sie
nicht definiert, und es ist sinnlos, von irgendwelchen Eigenschaften der
Funktion an solchen Stellen zu sprechen (außer, daß sie dort nicht
definiert ist). Damit kann man z.B. definieren: "Eine Unstetigkeitsstelle
x0 ist hebbar, wenn lim(x->x0)f(x) existiert, aber != f(x0) ist", und dann
kann man sagen, daß alle Unstetigkeitsstellen von f hebbar sind, auch dann,
wenn f nicht überall definiert ist. Oder daß eine Funktion
Riemann-integrierbar ist, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen das Maß
0 hat.

[W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester" Oldenbourg, 2.
Aufl. (2010)]

http://www.oldenbourg-wissenschafts...1845646.de



Gerade in solchen Feinheiten, wie ich sie hier aufgezàhlt habe, zeigen sich
m.E. die Unterschiede zwischen einem guten und einem schlechten Buch. Ein
guter Autor bringt es so hin, daß alles stimmig ist, ohne daß der Leser von
den Komplikationen erschlagen wird. Das Mückenheimsche Buch ist offenbar
Pfusch.

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