Das Kalenderblatt 100416

15/04/2010 - 12:30 von WM | Report spam
An der Spitze der Mengenlehre steht der Mengenbegriff. Ihn definiert
G. Cantor folgendermaßen.
Definition I. Unter einer ,,Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung
M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die ,,Elemente" von M genannt werden) zu
einem Ganzen. In Zeichen drücken wir dies so aus M = {m}.
Beispiele endlicher Mengen sind etwa die Menge der Erbsen in einer
Tüte, die Menge der Einwohner einer Stadt oder die Menge der
Wasserstoffatome in der Sonne.
Schon der Spitzenbegriff der neuen Disziplin ist von inneren
Widersprüchen nicht frei. Der erste Widerspruch tritt in einer
früheren Fassung der Cantorschen Mengendefinition
deutlicher hervor. Dort definiert Cantor die Mannigfaltigkeit oder
Menge als "jedes Viele, welches sich als Eines denken làßt".
Vielheit und Einheit sind nun sich ausschließende Gegensàtze. Wenn
etwas "Vieles" ist, dann kann es nicht zugleich "Eines" sein.
Wenn unser Verstand trotzdem dazu übergeht, das Unmögliche scheinbar
möglich zu machen, indem er das Viele auffaßt, aIs ob es Eines sei, so
setzt er damit einen in sich widerspruchsvollen Begriff, eine Fiktion.
Wer in der Identitàt von Einheit und Vielheit keinen Widerspruch
erblicken will, kann den Widerspruch gegen die zugestandene
Mengendefinition nicht wohl leugnen, wenn die Mengenlehre weiterhin
die Einheitsmengen und die Nullmenge als Mengen in Anspruch
nimmt. Die Einheitsmengen enthalten nàmlich alle nur ein einziges
Element. Bei einem einzelnen Objekte unserer Anschauung oder unseres
Denkens kann aber vn einer Zusammenfassung schlechterdings nicht die
Rede sein, ebensowenig von wohl unterschiedenen Objekten, die durch
den Mengenbegriff zusammengefaßt werden. Der zweite Fall dieser höchst
sonderbaren Mengen, die Nullmenge, ist dadurch charakterisiert, daß
sie überhaupt kein Element enthàlt. "Sie ist also eigentlich gar keine
Menge, soll aber (im uneigentlichen Sinne) als solche gelten.' Eine
Menge, die eigentlich keine Menge ist, aber uneigentlich als solche
gelten soll: ist das nicht ein in sich widerspruchsvoller Begriff? Der
fiktive Charakter des Mengenbegriffs tritt in diesem Falle so deutlich
hervor, daß man sich geradezu wundern muß, daß die Mathematiker
Herrn Vaihinger in der Entdeckung des Fiktionsbegriffes nicht
zuvorgekommen sind. Geradezu unverstàndlich aber ist es mir, wenn sie
die durch den Fiktionsbegriff umschriebene Eigentümlichkeit unseres
Denkens, die gerade in der Mathematik so deutlich offenbar wird,
trotzdem in Abrede stellen wollen.
Den Mengenforschern ist allem Anschein nach bei ihrer Definition der
Menge nicht sehr behaglich zumute. {{Deshalb haben sie den Versuch
einer Definition aufgegeben.}} Hausdorff erblickt selber in der
Mengendefinition kaum eine Definition, sondern nur eine anschauliche
Demonstration des Mengenbegriffs, die auf einfache Beispiele verweise,
wie wir sie oben angegeben haben. Tatsàchlich aber ist die angeführte
Definition (oder eine mit ihr gleichwertige) die einzige direkte
Definition, welche die Mengenforscher bis jetzt aufzustellen
vermochten. Es ist also vollauf berechtigt, wenn ich mit meiner Kritik
bei dieser Definition einsetze. Übrigens halte ich die in Rede
stehende Definition einer wesentlichen Verbesserung nicht für fàhig.
{{Das haben die Mengenforscher inzwischen auch erkannt und jeden
diesbezüglichen Versuch geàchtet - außer in der pauschalisierenden
Exklamation: Jedes Ding ist eine Menge! So kommen eine ganze Menge
Mengen zusammen - wenn auch nicht ganz. Denn alle sind zwar irgendwo,
selbst die, die gar nicht sind, doch niemals sind alle ansichdicht
gefügt. Die isolierenden Zwischenràume aber, obwohl ganz leer, sind
nach der reinen Lehre keine leeren Mengen (Die sind also wirklich rein
gar nichts, unterprivilegiert, unter allen Aspekten und Kanonen.)
Sonst bildeten alle Mengen ein stetig zusammenhàngendes Gebilde, eine
sich selbst übertreffende Vermengung, die das Universum sprengte.}}

[W. Dieck: "Die Paradoxien der Mengenlehre" Annalen der Philosophie
und philosophischen Kritik 5.1 (Dez. 1925) p. 44f]

Gruß, WM
 

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#1 Karl Heinz
15/04/2010 - 12:48 | Warnen spam
WM schrieb:

[W. Dieck: "Die Paradoxien der Mengenlehre" Annalen der Philosophie
und philosophischen Kritik 5.1 (Dez. 1925) p. 44f]



Der faselt ohne das befaselte zu verstehen, und wahrscheinlich hatte
der nicht mal eine Antenne dafür, dass der gar nicht kapiert worüber
er schwàtzt. Aber wen juckt das, die Karawane ist ja weitergezogen.

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