Das Kalenderblatt 100422

21/04/2010 - 10:16 von WM | Report spam
|R ist von größerer Màchtigkeit als |N. Viel größer oder nur ein wenig
größer ? - das ist die Frage.

{{Nur ein wenig größer, genau genommen nur minimal größer, denn ES
gibt nur eine einzige Diagonalzahl in jeder Cantor-Liste. Und sobald
sie konstruiert wurde, kann sie oben angehàngt werden, als nullte oder
minuserste oder minuszweite Zahl. Wird die Liste dann und wann einer
nur gelinden Transformation unterworfen, so besitzt jede Zeile wieder
eine vollstàndig natürlichen Adresse. Dieses Spiel kann man so lange
treiben, wie ES Spaß hat. Trotzdem wird die Menge der ganzen Zahlen
damit niemals auch nur annàhernd erschöpft, ausgeschöpft, exhausted
(Namen zum Stichwort: Eudoxos von Knidos (408 - 355) und Archimedes,
der Sizilianer (287 - 212)). Fazit: ES gibt deutlich mehr ganze als
reelle Zahlen. Ungefàhr doppelt so viele! - das ist die Antwort.}}

Die Cantorsche Kontinuumshypothese besagt, daß die Kluft zwischen |N
und |R minimal ist {{wie eben oben gesehen}}, es also keine
Màchtigkeiten gibt, die echt zwischen ||N| und ||R| liegen:

{{Die Ursache liegt darin, dass man nach Cantor Kardinalimente nicht
zerteilen darf, will sagen seit Cantor tut man es nicht mehr, scheut
man sich, denn nach Cantor, also von ihm autorisiert sozusagen, dürfte
man es schon ohne Scheu tun: "Die erweiterte ganze Zahlenreihe kann,
wenn es die Zwecke fordern, ohne weiteres zu einer kontinuierlichen
Zahlenmenge vervollstàndigt werden, indem man zu jeder ganzen Zahl
alpha alle reellen Zahlen x, die größer als Null und kleiner als Eins
sind, hinzufügt."}}

Sei M eine Menge und es gelte ||N| =< |M|=< ||R|
Dann gilt: ||N| = |M| oder |M| = ||R|.
Anders formuliert:
Es gibt keine Menge M mit ||N| < |M| < ||R|
{{Das bestàtigt die These, dass |R höchstens ein Element mehr enthàlt
als |N, zu jedem Zeitpunkt. Deswegen spielt auch die Zeit überhaupt
keine Rolle in der Mathematik.}}

Noch einmal anders formuliert: Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist
abzàhlbar oder gleichmàchtig zu den reellen Zahlen.

{{Noch einmal anders formuliert: Jede unendliche Menge ist abzàhlbar
und gleichmàchtig zu den reellen Zahlen. ES gàbe denn einen, der nicht
bis Liste + 1 zàhlen könnte. Doch eigens für einen solchenen wird ES
keine neue Mathematik machen.}}

[O. Deiser: "Einführung in die Mengenlehre", Springer (2010), p. 150]

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
21/04/2010 - 12:26 | Warnen spam
WM schrieb:
|R ist von größerer Màchtigkeit als |N. Viel größer oder nur ein wenig
größer ? - das ist die Frage.

{{Nur ein wenig größer, genau genommen nur minimal größer, denn ES
gibt nur eine einzige Diagonalzahl in jeder Cantor-Liste. ... }}



Ja, wiederhole nur immer wieder den Einwand, den jemand macht, der
den Diagonalbeweis zum ersten Mal hört.
Schon die Verwendung des Wortes "Cantor-Liste" ist so erfrischend
provozierend und falsch. Spechen wir doch lieber von Angeber-Listen,
weil man damit treffend Listen benennt, die *angeblich* alle reellen
Zahlen enthalten. Und was Du Diagonal-Zahl nennst, wird tatsàchlich
oft so bezeichnet, sollte aber treffender als Antidiagonale oder
meinetwegen als Cantor-Zahl bezeichnet werden, denn diese zur Angeber-
Liste konstruierte Zahl beweist die Unvollstàndigkeit der Angeber-Liste.

Nach Redaktionsschluss noch angerannt zu kommen und die Angeber-Liste
verlàngern zu wollen, das geht nicht. Auf diese Weise wird durch Betrüger-
List eine Betrüger-Liste erzeugt.

Dass nur eine einzige Antidiagonale zu einer Angeber-Liste existiert,
ist eine falsche Aussage, wenn von den üblichen dezimal geschriebenen
Listen die Rede ist. Und wenn von den binàr geschriebenen die Rede ist,
dann ist es ja um so schöner, dass man so wenig Mühe hat, die Unvoll-
stàndigkeit der Liste vor Augen geführt zu bekommen. Dass sich beim
ach-so-cleveren Voranstellen der Antidiagonalen vor die Angeber-Liste
sofort eine neue Antidiagonale ergibt, hast Du ja verstanden. Offenbar
scheinst Du aber aus der Tatsache, dass man auf diese Weise unendlich
viele neue Zahlen gewinnt, zu folgern, dass Du damit alle reellen Zahlen
aufgezàhlt bekàmest.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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