Das Kalenderblatt 100425

24/04/2010 - 12:54 von WM | Report spam
Definition:

~ := Äquivalenz (Existenz einer Bijektion f)
c := strikte Inklusion
U := Vereinigung

Satz.

M ~ N1 c N
/\
N ~ M1 c M
==>
M ~ N

Beweis.

Definiere disjunkte Untermengen
M := A U B U C
M1 := A U B
so dass gilt
(A U B U C) ~ A := A1 U B1 U C1
wo f(A) = A1, f(C) = C1
A1 U B1 U C1 ~ A1 := A2 U B2 U C2
wo f(A1) = A2, f(C1) = C2
A2 U B2 U C2 ~ A2 := A3 U B3 U C3
wo f(A2) = A3, f(C2) = C3
...

Also ist
C ~ C1 ~ C2 ~ C3 ~ ...

Sei
D := Durchschnitt(A, A1, A2, A3, ...)

M = A U B U C = B U C U B1 U C1 U B2 U C2 U ... U D
M1 = A U B = B U C1 U B1 U C2 U B2 U C3 U ... U D

Alle Mengen sind disjunkt, die untereinander geschriebenen sind
àquivalent.

Also ist M ~ M1 ~ N.

Beweis nach
[F. Bernstein in E. Borel: "Leçons sur la théorie des fonctions",
Jaques Gabay (1950) p. 103 ff]


Der Beweis kann übrigens auch vollstàndig in Form eines
(unvollstàndigen) Ternàren Baums dargestellt werden:


A A1 A2 A3 ...
| \ | \ | \ | \
B1 C1 B2 C2 B3 C3 ...

Wollte man auch die Sackgassen (Blàtter) Bk und Ck für alle k in |N
immer weiter ausführen, so kàme man auf überabzàhlbar viele Pfade bei
abzàhlbar vielen Mengen ! ? ! ?


Gruß, WM
 

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#1 WM
24/04/2010 - 20:32 | Warnen spam
On 24 Apr., 12:54, WM wrote:

Klarstellung:

M = A U B U C = B  U  C  U B1 U C1 U B2 U C2 U ... U D
M1 =   A U B    = B  U C1 U B1 U C2 U B2 U C3 U ... U D

Alle Mengen auf der rechten Seite sind disjunkt,
die untereinander geschriebenen sind àquivalent.

Gruß, WM

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