Das Kalenderblatt 100428

27/04/2010 - 11:16 von WM | Report spam
[...] Baire, who promptly agreed with Borel. Baire complained of
Zermelo's frequent references to "a given set", since he could not
guess what that night mean. In fact, he suspected that the phrase was
meaningless. He professed to be more conservative than Borel in
believing that even denumerable infinities should not be permitted in
rigorous mathematics. If Baire were to have his way, progress in
mathematics would be measured by confining all discussion to only
definable domains. {{Ach Gott, wie öde würde dann die Mathematik
sein!}} In the end, everything should be returned to the realm of the
finite. It was though Cantorian set theory were once more faced with
the objections of Leopold Kronecker. Certainly Baire, Borel, and
Lebesgue had reopened all of the finitst doubts to which Cantor had
been subjected at the outset of his career. Of all who shared these
doubts, Lebesgue spoke most persuasively, if somewhat more moderately
than Borel and Baire.

Lebesgue clarified what Borel and Baire had expressed only vaguely. In
terms of Cantor's formulation, to define a set M was to give a
property P pertaining to certain elements of a previously defined set
N. But one knew nothing about the elements of M except, as Lebesgue
put it, that they possessed all the unknown properties of N and were
the only elements which satisfied the unknown property P. There was
nothing to differentiate between two elements in M, let alone one, as
Zermelo had required in order to produce alternative formulations,
like B:

B: Correspond to every subset M' of elements of M one particular
element m' of M'.

Unfortunately, Lebesgue did not see how any proof of Theorem B was
possible except for sets that were already known to be well-ordered.
This did not seem to happen very often.

[Dauben: "Georg Cantor", Princeton University Press (1990) p. 256]

Die Korrespondenz, auf die sich Daubens Referat stützt, ereignete sich
im Jahre 1928, also 24 Jahre nach Zermelos erstem und 20 Jahre nach
seinem neuen "Beweis" des Wohlordnungssatzes.
Der hier dargestellte Einwand antizipiert fast buchstabengetreu eine
Position, die ich - ohne Kenntnis von Lebesgues Kritik - im
Kalenderblatt 091123 erörterte: Zermelos Beweis ist falsch, weil er
die Wohlordnung voraussetzt und nur für wohlgeordnete Mengen beweist,
dass sie wohlgeordnet werden können.

Selbstverstàndlich wiegen die gleichlautenden Bedenken dieser
vergleichsweise unbekannten französischen Mathematiker das absolute
Vertrauen von dsm-Koryphàen in Zermelos Beweis nicht auf (*), doch
gereicht es mir zu einer gewissen Befriedigung, dass es wenigstens
einen Menschen gab (ich meine tatsàchlich gab - nicht nur nach "Beweis
in ZFC"), dem man wohl oder übel mathematische Kenntnisse und
Fàhigkeiten nicht ganz absprechen kann und der meine Position teilt.
___________________________

(*)
Zermelos Beweis ist korrekt, weil die Schlüsse darin korrekt sind. Er
bedarf keiner weiteren Rechtfertigung. [CS]

Vielleicht versteht dann sogar ER den Beweis. [MO]
Henri Lebesgue?

Nein, ich frage nicht weshalb wohlgeordnete Mengen wohlgeordnet sind,
sondern weshalb die Existenz von überabzàhlbaren wohlgeordneten Mengen
vorausgesetzt wird. [WM]

Wird sie nicht. [CS]
Wird sie doch. [Henri Lebesgue]
Wer hat Recht? Die Mehrheit.

"Die spàteren Beweisschritte zeigen ganz nebenbei die Existenz von
gamma-Mengen. Aber sie setzen sie nicht voraus." [CC]

Ich möchte aber nicht unterschlagen, dass auch Verstàndnis für die
Position von Lebesgue angedeutet wurde: "Man muss also bereits an
ueberabzaehlbare Wohlordungen _glauben_, um von diesem Argument
ueberzeugt zu werden." [WT]

Ach, das interessiert kaum einen Mathematiker, glaub es mir. [BoBo]

ZFC und Glaube. Ein untrennbares Paar.

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
27/04/2010 - 12:55 | Warnen spam
Am 27.04.10 11:16, schrieb WM:
Lebesgue clarified what Borel and Baire had expressed only vaguely. In
terms of Cantor's formulation, to define a set M was to give a
property P pertaining to certain elements of a previously defined set
N. But one knew nothing about the elements of M except, as Lebesgue
put it, that they possessed all the unknown properties of N and were
the only elements which satisfied the unknown property P. There was
nothing to differentiate between two elements in M, let alone one, as
Zermelo had required in order to produce alternative formulations,
like B:

B: Correspond to every subset M' of elements of M one particular
element m' of M'.

Unfortunately, Lebesgue did not see how any proof of Theorem B was
possible except for sets that were already known to be well-ordered.
This did not seem to happen very often.

[Dauben: "Georg Cantor", Princeton University Press (1990) p. 256]

Die Korrespondenz, auf die sich Daubens Referat stützt, ereignete sich
im Jahre 1928, also 24 Jahre nach Zermelos erstem und 20 Jahre nach
seinem neuen "Beweis" des Wohlordnungssatzes.
Der hier dargestellte Einwand antizipiert fast buchstabengetreu eine
Position, die ich - ohne Kenntnis von Lebesgues Kritik - im
Kalenderblatt 091123 erörterte: Zermelos Beweis ist falsch, weil er
die Wohlordnung voraussetzt und nur für wohlgeordnete Mengen beweist,
dass sie wohlgeordnet werden können.



Wo steht das in obigem Text?

Ansonsten kann nur wiederholt werden, dass Deine Kritik lediglich darauf
fußt, dass Du den Beweis nicht verstanden hast.

Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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