Das Kalenderblatt 100429

28/04/2010 - 14:38 von WM | Report spam
Wir betrachten die Menge L aller überhaupt denkbaren Mengen. {{Darf
man sie denn betrachten? Die Menge aller denkbaren Mengen darf man
doch nicht denken, wogegen man alle undenkbaren Zahlen denken soll,
wenn man kann - alles unter der Pràmisse, dass ein Widerspruch in ZFC
undenkbar ist und (surprise!) auch nicht gedacht werden soll.}} "Diese
Menge scheint die umfassendste überhaupt denkbare Menge darzustellen.
Dennoch können wir im Widerspruch zu diesem Wesen von L leicht eine
noch umfassendere Menge bilden, z.B. dadurch, daß wir die Menge aller
Teilmengen von L bilden, die nach einem Satze der Mengenlehre sogar
eine größere Màchtigkeit besitzt als L; wir bilden so paradoxerweise
zu der "denkbar umfassendsten" Menge eine "noch umfassendere". Die
Menge aller Mengen - und ebenso das "All", d. i. die Menge "aller
Dinge" -- ist also gleichfalls ein in sich widerspruchsvoller
Begriff."

Von dem hier vertretenen Standpunkte aus ist diesen Ausführungen
Fraenkels nur wenig zuzufügen. Die Menge "aller" Mengen ist in der Tat
ein in sich widerspruchsvoller Begriff. Sein innerer Widerspruch
beruht keineswegs auf seiner Zugehörigkeit zur Mengenlehre. Vielmehr
dient seine Verwendung in einem Sondergebiet der Mathematik nur dazu,
den inneren Widerspruch des Begriffs "alle" zu enthüllen. Der Begriff
alles in strengem Sinne genommen, verbindet scheinbar und trügerisch
zu einer abgeschlossenen Einheit, was der menschliche Verstand vermöge
seiner Natur gar nicht zur Einheit zu verbinden vermag. {{Dieses
Argument setzt die Existenz einer aktualen Unendlichkeit voraus und
ist deswegen nicht schlüssig.}} Doch wo die Begriffe fehlen, da stellt
ein Wort zur rechten Zeit sieh ein. Die scheinwirkende Kraft der
Sprache tàuscht durch das Wort "alle" die Gegebenheit eines Begriffes
vor, wàhrend tatsàchlich nur ein Unbegriff vorliegt. "Alles" enthàlt
eben alles und außerdem noch einiges andere, so kann man scherzhaft,
aber zutreffend sagen. Die paradoxe Gleichung oo + a = oo ist das
genaue Gegenstück zu der in Rede stehenden widerspruchsvollen
Eigenschaft des Begriffs ,,Alles". {{Der Begriff ist keineswegs
widersprüchlich und die Gleichung ist nicht paradox. Paradox ist
allein die Gleichung oo + 1 > oo.}}

[W. Dieck: "Die Paradoxien der Mengenlehre" Annalen der Philosophie
und philosophischen Kritik, 5.1 (Dez.1925) p 53f]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
28/04/2010 - 18:50 | Warnen spam
WM schrieb:
Wir betrachten die Menge L aller überhaupt denkbaren Mengen. {{Darf
man sie denn betrachten? Die Menge aller denkbaren Mengen darf man
doch nicht denken, wogegen man alle undenkbaren Zahlen denken soll,
wenn man kann - alles unter der Pràmisse, dass ein Widerspruch in ZFC
undenkbar ist und (surprise!) auch nicht gedacht werden soll.}} "Diese
Menge scheint die umfassendste überhaupt denkbare Menge darzustellen.
Dennoch können wir im Widerspruch zu diesem Wesen von L leicht eine
noch umfassendere Menge bilden, z.B. dadurch, daß wir die Menge aller
Teilmengen von L bilden, die nach einem Satze der Mengenlehre sogar
eine größere Màchtigkeit besitzt als L; wir bilden so paradoxerweise
zu der "denkbar umfassendsten" Menge eine "noch umfassendere". Die
Menge aller Mengen - und ebenso das "All", d. i. die Menge "aller
Dinge" -- ist also gleichfalls ein in sich widerspruchsvoller
Begriff."



HERMES geht - ausnahmsweise - auf das Durcheinander von ALLE und JEDER ein:
<http://www.sgipt.org/wisms/analogik...Hermes>
Oben scheint alle im summarischen Sinne gemeint zu sein.

Rudolf Sponsel, Erlangen




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Gruß, WM

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