Das Kalenderblatt 100430

29/04/2010 - 08:53 von WM | Report spam
Das Problem der "ganzen transzendenten Zahlen" [...] kommt darauf
hinaus, einen Bereich G von reellen oder komplexen Zahlen zu
definieren, welcher die folgenden Eigenschaften besitzt:

I. Summe, Differenz und Produkt zweier Zahlen von G ist wieder eine
Zahl von G.
II. Jede reelle oder komplexe Zahl ist Quotient zweier Zahlen von G.
III. Jede ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl ist Element yon G.
IV. Keine nicht-ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl gehört zu G.

Da es bisher noch nicht gelungen ist, einen Bereich von dieser
Beschaffenheit zu konstruieren, so liegt die Vermutung nahe, als ob es
deswegen nicht ginge weil die vier aufgestellten Postulate miteinander
im Widerspruche stànden. Im folgenden soll nun gezeigt werden, daß es
sich so nicht verhàlt, indem die Existenz solcher Bereiche G auf die
Wohlordnung des Kontinuums zurückgeführt wird. {{Es folgt eine làngere
Ableitung, die allerdings aus unten genanntem Grunde wenig interessant
ist und deswegen ausgelassen wird.}}

Unsere Definition der Integritàt ist auch nicht bestimmt, die Zahlen
ihrer inneren Natur nach zu charakterisieren, sondern soll vorlàufig
{{hier wird darauf angespielt, dass im Jahre 1913 noch keine
Auswahlfunktion für die reellen Zahlen bekannt war und deswegen noch
keine Wohlordnung angegeben werden konnte.}} nur die
Widerspruchslosigkeit der an einen solchen Integritàtsbereich zu
stellenden Forderungen erhàrten.

Zürich, den 28. Dezember 1913.

[E. Zermelo: "Über ganze transzendente Zahlen", Mathematische Annalen,
75 (1914) 434-442]

Obiges "vorlàufig" hat sich inzwischen als endgültig erwiesen.
Unabhàngig davon ist aber auch Widerspruchslosigkeit nicht erhàrtet.
Gàbe es nàmlich überabzàhlbar viele Zahlen, so wàre eine Wohlordnung
schon deswegen selbst ein Widerspruch, weil
A) die Wohlordnung einen Namen für jede abzàhlbare Folge von Zahlen
erfordert,
B = -A) nur abzàhlbar viele Namen existieren
(unabhàngig von den Beschrànkungen des MatheRealismus, die bei einer
realistischen Betrachtung natürlich noch hinzutreten). Ein Beweis, der
mit Recht "Widerspruchsbeweis" genannt werden kann, weil er einen
Widerspruch beweist, kann aber keine Widerspruchslosigkeit erhàrten.

Abgesehen vom Ergebnis ist auch die Beweisführung für die Wohlordnung
nicht schlüssig. Der Kern des Beweises zeigt zwar, dass auf jeden
Anfangsabschnitt der geordneten Menge aller reellen Zahlen die laut
Auswahlaxiom der Komplementmenge des Anfangsabschnittes zugeordnete
reelle Zahl folgt, doch eine Ordnung der gesamten Menge wird daraus
erst, wenn vom ersten Anfangsabschnitt an, der nur ein Element
enthàlt, die gesamte Menge ohne Unterbruch schrittweise durchlaufen
wird, so dass sichergestellt ist, dass niemals eine "erstes"
undefiniertes Element vorkommt - ein Verfahren also, mit dem sich auch
die Abzàhlbarkeit jeder Menge zeigen ließe.

Ohne Wohlordnungmöglichkeit gibt es aber keine überabzàhlbaren
Ordungstypen und damit auch keine Hierarchie des Transfiniten.

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
29/04/2010 - 11:09 | Warnen spam
On Wed, 28 Apr 2010 23:53:09 -0700 (PDT), WM
wrote:
Das Problem der "ganzen transzendenten Zahlen" [...] kommt darauf
hinaus, einen Bereich G von reellen oder komplexen Zahlen zu
definieren, welcher die folgenden Eigenschaften besitzt:


I. Summe, Differenz und Produkt zweier Zahlen von G ist wieder eine
Zahl von G.
II. Jede reelle oder komplexe Zahl ist Quotient zweier Zahlen von G.
III. Jede ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl ist Element yon


G.
IV. Keine nicht-ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl gehört zu


G.

Ich komme hier mit der Terminologie nicht ganz klar. Geht es um den
algebraischen Abschluss von Q? Ich wusste gar nicht, dass der Beweis
dessen Existenz auch von Zermelo stammt. Eines schönes Beispiel
dafür, dass die transfiniten Methoden auch in der Algebra fruchtbar
waren.

Gruß

Carsten

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