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Das Kalenderblatt 100501

30/04/2010 - 13:07 von WM | Report spam
Zu diesem Zwecke wird [...] auf Grund einer beliebigen Wohlordnung
Omega eine "algebraische Basis" der reellen und komplexen Zahlen
definiert, d.h. ein System H von Zahlen eta, zwischen denen keine
algebraischen Beziehungen bestehen, welche aber alle übrigen Zahlen
algebraisch auszudrücken gestatten. Es wird sodann gezeigt, daß jede
Zahl einer eindeutig bestimmten "Hauptgleichung" genügt, nàmlich einer
in H irreduziblen und primitiven algebraischen Gleichung, deren
Koeffizienten "ganzzahlige" Polynome der eta sind, d.h. solche mit
ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten. Werden nun zu G_eta diejenigen
Zahlen gerechnet, für welche der Anfangskoeffizient der Hauptgleichung
+/-1 ist, so làßt sich zeigen, daß für diesen Bereich G_eta alle vier
Bedingungen erfüllt sind. Jeder Wohlordnung Omega des Kontinuums
entspricht also eine Basis H und damit ein System G_eta non "eta-
ganzen" Zahlen, zu denen (nach III) jedenfalls auch alle ganzen
algebraischen Zahlen gehören, zugleich aber auch alle Basiszahlen eta
selbst sowie alle gauzzahligen Polynome der eta, wàhrend alle rational-
gebrochenen Polynome der eta mit ganzzahligen Koeffizienten als nicht
ganz" zu gelten hàtten.

§ 1. Die Basis.

Die Gesamtheit C der reellen und komplexen Zahlen sei in beliebiger
Weise "wohlgeordnet" {{das ist recht großzügig und sehr mathematisch,
weil von größtmöglicher Allgemeinheit; eine konkrete Wohlordnung wàre
aber zumindest für den Lernenden zutràglicher}}, d. h. nach G. Cantor
so geordnet, daß die Menge wie jede ihrer Teilmengen ein erstes
Element enthàlt. Eine solche Wohlordnung Omega kann stets und zwar auf
eindeutge Weise definiert werden {{leider hat der Autor sein Geheimnis
mit ins Grab genommen - ein unersetzbarer Verlust}}, wenn jeder nicht
verschwindenden Untermenge von C eines ihrer Elemente zugeordnet ist,
sie existiert also auf Grund des "Auswahlaxioms", und die Gesamtheit
aller möglichen Omega ist eine Menge von der Màchtigkeit 2^c, sofern c
die des Kontinuums bezeichnet.
Für das Folgende genügt es, eine beliebige Wohlordnung Omega von C
zugrunde zu legen. Dann entspricht jeder (reelIen oder komplexen) Zahl
alpha als "Abschnitt" eine bestimmte Untermenge C(a) von C, nàmlich
die Gesamtheit der dem Element alpha in Omega vorangehenden Elemente,
sowie der durch diese Zahlen bestimmte Körper K(alpha). {{Hier wàre
eine konkrete Angabe wünschenswert. Das hàtte der Referee diese Papers
(der damals sicher noch Gutachter dieses Aufsatzes genannt wurde)
unbedingt fordern sollen.}}
Nun kann es vorkommen, daß eine Zahl apha von den vorangehenden
"algebraisch abhàngig" ist, nàmlich einer algebraischen Gleichung
genügt von der Form
(1) f(x, beta) == f(x, beta_1, beta_2, ..., beta_nü) = 0
in welcher alle Koeffizienten dem Körper K_alpha angehören, d.h.
ganzzahlige rationale Funktionen von endlich vielen dem alpha
vorangehenden Zahlen beta_1, beta_2, ..., beta_nü sind und der
Koeffizient der höchsten Potenz von x nicht verschwindet. Insbesondere
erfüllen alle algebraischen Zahlen diese Forderung, weil der
natürliche Rationalitsbereich R in jedem Körper K(alpha) enthalten
ist.
Genügt dagegen eine Zahl eta keiner Gleichung von der Form (1), ist
eta "von den vorangehenden unabhàngig" so heiße eta eine "Basiszahl",
und die Gesamtheit aller Basiszahlen H wird als die zu Omega gehörende
"Basis" bezeichnet. So ist mindestens die erste in Omega vorkommende
transzendente Zahl eine Basiszahl. Die aus endlich vielen Basiszahlen
eta gebildeten Polynome mit ganzen rationalen Koeffizienten bilden
dann einen Integritàtsbereich [...]
Nach dem bekannten, für wohlgeordnete Mengen gültigen
Induktionsverfahren {{Warum betont Zermelo dies hier? Er benutzt
selbiges Induktionsverfahren doch sogar für gànzlich unordentliche
Mengen um ihre Wohlordbarkeit erst zu beweisen. Oder will er uns
sagen: Wenn es für solche gilt, dann gilt es für wohlgeordnete erst
recht!?}} genügt es, den Satz zu beweisen für eine Zahl alpha unter
der Voraussetzung, daß seine Gültigkeit für alle etwa vorangehenden
Zahlen bereits gesichert sei; denn unter den Zahlen alpha, für welche
er ungültig wàre, müßte es in Omega eine erste alpha_0 geben, und für
die vorangehenden wàre er gültig, also auch für alpha_0 gegen die
Annahme. {{Das wollen wir gern glauben und auch den Rest dieses
Aufsatzes lesen, sobald eine Wohlordnung vorgezeigt wurde. Eine ganz
beliebige darf es sein - aber bitte nicht in Form eines "Beweises" in
ZFC, sondern richtig und tatsàchlich, wirklich und wahrhaftig. Denn
wenn das Auswahlaxiom in Wirklichkeit gar nicht gölte, dann wàre doch
der ganze Aufsatz für die Katz' und die zum Lesen investierte Zeit
vergeudet.}}

[E. Zermelo: "Über ganze transzendente Zahlen", Mathematische Annalen,
75 (1914) 434-442]

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
30/04/2010 - 13:18 | Warnen spam
Am 30.04.10 13:07, schrieb WM:
aber bitte nicht in Form eines "Beweises" in
ZFC, sondern richtig und tatsàchlich, wirklich und wahrhaftig.



Das ist also, zusammen damit, dass Du Zermelos Beweis des
Wohlordnungssatzes immer noch nicht verstanden hast, Deine ganze Kritik.
Erbàrmlich.

Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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