Das Kalenderblatt 100503

02/05/2010 - 14:02 von WM | Report spam
Eine punktierte Funktion ist eine Funktion die in einem speziellen
Punkt des Definitionsbereichs eine besondere Definition besitzt. Oft
geschieht dies, um eine Funktion stetig zu machen. Manchmal, um sie
unstetig zu machen. Jede differenzierbare Funktion mit Ausnahme
punktierter Funktionen besitzt eine stetige Ableitung. Man kann das
sehr einfach daran, sehen, dass eine nicht nur punktiert unstetige
Funktion immer eine nicht differenzierbare Stammfunktion besitzt.

Weil ich gestern ein wenig Freizeit hatte, habe ich mir das Thema
punktierte Funktion vorgenommen, um dem vielfachen Wunsch nach
Referenzen nachzukommen. Eigentlich sollte dies ein gewöhnliches KB
werden, aber es ist deutlich zu lang geworden, viel lànger, als ich
selbst zunàchst für möglich gehalten hàtte. Die nicht verlinkten
Zitate stammen ausnahmslos aus den Diskussionen um KB 100226 und KB
100310.

Es ist schon immer wieder schockierend, welch fundamentales
mathematisches Unverstaendnis bei WM vorliegt. (fiesh)
Wie erklaerst du dir, dass du bei diesem doch vergleichsweise
unreligioesem Thema, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, ganz allein
dastehst und dir niemand recht gibt, du aber soviel Widerspruch
erfaehrst? Sind Stetigkeit und Differenzierbarkeit etwa noch
problematischere Gebiete als die aktuale Unendlichkeit? (fiesh)
Dann würde ich doch um diesen Beweis bitten. Vielleicht wird dann
auch klarer, was eine punktierte Funktion ist, denn definiert hast Du
das nicht. (CS)
Auffàllig ist, da WM erst seit kurzem von "punktierten Funktionen"
spricht.Ähnliches hatten wir schon öfter [...] Schön dargestellt
übrigens von Leonardo di Caprio in dem Film "Catch me if you can" in
dem er unter anderem "durch seine aus Arztserien erlernte Fachsprache
den Eindruck [erweckt], tatsàchlich Mediziner zu sein, obwohl er kein
Blut sehen kann." (UL)
Definiere den Terminus "punktierte Funktion". (BoBo)
Hint an Prof. Dr. Mückenheim: "punktierte Funktionen" gibt es nicht,
außer in ihrer Phantasie. (FF)
Können Sie bitte eine Referenz auf den Begriff "punktierte Funktion"
angeben? Kam das in Ihrem Mathe-Studium tatsàchlich vor? Rührt Ihre
Inkompetenz etwa daher, da Sie selbst schlechte Lehrer hatten und
hinterher nichts mehr dazugelernt haben und auch nichts mehr
dazulernen wollen? (MS)
Ich kenne das Lexikon gut und habe u.a. den Text zum Stichwort "stetig
differenzierbare Funktion" geschrieben. [...] Weder in der deutschen
noch der englischen Wikipedia und auch nicht im Lexikon der Mathematik
finde ich "punktierte Funktion". Möchten Sie Ihr eigenes Lexikon und
Ihre eigene Wikipedia schreiben?
Um die Frage verstehen zu können, müßte Mückenheim ja wissen, was die
bedeutungstragenden Einheiten im mathematischen Parlando sind; hier
also insbesondere, daß "punktiert" keine solche ist, im Gegensatz zu
"punktierter Umgebung" oder "punktiertem topologischen Raum" (RB)
Allerdings muss ich auch feststellen, dass die "punktierte Funktion"
anfangs hingestellt wurde als etwas, das zum Basis-Wissen gehört. Das
war neu für mich, weil ich bis dahin nur was von punktierten
Umgebungen gehört hatte. Dass dann die Definition nachgeschoben wurde,
ist ja nett, aber es fehlte das Eingestàndnis, dass es sich bei
"punktierte Funktion" um eine ungebràuchliche Eigenkonstruktion
handelt. (RR)
Ungebràuchlich oder unbrauchbar und unnütz? (MS)
Du hast halt "punktierte Funktionen" ins Spiel gebracht und so getan
als sei das etwas, was jeder zu kenne habe. Dabei hast Du diese
Wortkombination gerade erst erfunden. Referenzen hast Du beharrlich
verweigert. Dabei würde Dir doch kein Zacken aus der Krone fallen,
wenn Du zugàbst, dass Dir die Erinnerung einen Streich gespielt hat
und Du im Hinblick auf den wohlbekannten Ausdruck "punktierte
Umgebung" eine neue Wortkombination kreiert hast. (RR)
Wo in der Mathematik der letzten 100 Jahre ist von "punktierten
Funktionen" die Rede? Nennen Sie mir bitte wenigstens ein Lehrbuch
oder einen Artikel außer Ihren eigenen Veröffentlichungen. Eine Suche
auf ZMATH liefert keine Treffer.
Also hier sind ein paar Referenzen (es gàbe noch viele mehr):

Full text of "Encyklopàdie der mathematischen Wissenschaften mit ...
208) Darnach ist der Satz: ,,Jede punktiert unstetige Funktion ist
integrabel" -- bei Harnack richtig, bei Hankel dagegen falsch, wie St.
Smith (a. a. 0. p ...
www.archive.org/stream/.../encyklomath1102encyrich_djvu.txt


Die Geschichte der pathologischen Funktionen — Ein Beitrag ...
von K Volkert - 1987 - Zitiert durch: 8 - Ähnliche Artikel
Er unterschied: punktiert unstetige Funktionen (modern gesprochen:
solche mit diskreter Singularitàtenmenge) und linear unstetige (solche
mit ...
www.springerlink.com/index/H47787NV5L052863.pdf - Ähnlich


Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 1-50‎ - Seite 59
Oskar Xaver Schlömilch, B. Witzschel, M. Cantor, Rudolf Mehmke, E.
Kahl, Carl Runge - 1905
Frischauf, J. Über Riemanns punktiert unstetige Funktion. 34, 192—
198. ...

J.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09 In ...
Satz A8.7. Eine beschrànkte Funktion f : [a, b] ! R ist genau dann
Riemann-integrierbar, wenn die Unstetigkeiten von f eine Nullmenge
(vgl. I.G2.2) bilden.

Reelle Funktionen‎ - Seite 163
Georg Aumánn - 1969 - 418 Seiten
Obiger Satz lautet dann kurz: In einem regulàren Raum ist jede minimal
unstetige Funktion punktiert unstetig. 5.5.5. Ist <p | E punktiert
unstetig im ...

Reelle Funktionen, Band 1‎ - Seite 172
Constantin Carathéodory - 1946 - 184 Seiten
Sie konvergieren gegen eine höchstens punktiert unstetige Funktion
g(P),

Repertorium der höheren mathematik, Band 1, Teil 1‎ - Seite 488
Ernesto Pascal, Paul Epstein, Heinrich Emil Timerding - 1910
Ann. 20, 92 (1870)), daß jede innerhalb (a, b) punktiert unstetige
Funktion dort
integrierbar sei, ist nicht richtig (Smith, Lond. Math. Soc. ...

Rein analytischer beweis des lehrsatzes: dass zwischen je zwey
werthen, die ...‎ - Seite 80
Philip Edward Bertrand Jourdain, Bernard Bolzano, Hermann Hankel -
1905 - 115 Seiten... nach Riemanns*) Kriterien der Satz: Jede
punktiert unstetige Funktion, ...

Acta mathematica, Band 50-51‎ - Seite 104 1927
Alsdann bemerken wir, dass die Funktion ip(z) nichts anderes ist
als ... in
allen Punkten fi + vi mit ganzzahligen Koordinaten fi, v punktiert
gedacht wird.

Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 191-192‎ - Seite
52
August Leopold Crelle - 1953
Ist f\ T0 irgendeine reelle Funktion, so ist /"'* als halbstetige
Funktion
punktiert unstetig, dh mit einer überall dichten Menge von ...

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker, Band 1‎ - Seite 64
Rudolf Rothe - 1909
Eine Funktion, bei der dies nicht der Fall ist, obgleich sie im
Intervall
unendlich viele Sprünge besitzt, heißt punktiert unstetig. ...

Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Ausgabe 153‎ - Seite
80
1905
Doch bleibt bei den Integralen aller in § 6 und 9 gegebenen,
punktiert ...
Kriterien der Satz: Jede punktiert unstetige Funktion, welche in ihren
Uu- ...

Лангеньшейдц Фахвöртербух Матхематик: Энглиш, Деуч, Францöсищ, Руссиш‎
- Seite 623
Гüнтнер Ейсенрейч, Ральф Суве - 1996 - 1458 Seiten
... punktweise Stetigkeit / punktweise stetige Funktion / punktweise
(einfache,
gewöhnliche) Konvergenz / s. ... punktweise (punktiert) unstetige
Funktion ...

Elementares lehrbuch der algebraischen analysis und der
infinitesimalrechnung‎ - Seite 894
Ernesto Cesàro - 1904 - 897 Seiten
Funktionen in punktiert u. total unstetige 202. E. atet. Funkt, e.
unstet. Funkt
, kann stet, sein 203. ... Weierstraß sehe Funktion (stetig«
Funkt, ...

Encyklopàdie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss
ihrer ...‎ - Seite 39
Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Sàchsische Akademie der
Wissenschaften zu Leipzig, Bayerische Akademie der Wissenschaften,
Österreichische Akademie der Wissenschaften - 1916
91) bezeichnet als punktiert unstetig solche Funktionen, bei denen
Sprünge > ff
nur ... Funktion an. Ferner vergl. Darboux, aa 0. p. 107; Dini, Ann.
di mat. ...

Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung: Bd. Funktionen
einer ...‎ - Seite 42
Alexander M. Ostrowski - 1967
Auch die einseitigen Umgebungen müssen gelegentlich punktiert
werden, ...

Encyklopàdie der mathematischen Wissenschaften: Bd. 1.-3. T.
Analysis ...‎ - Seite 1089
Sàchsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Königlich
Bayerische Akademie der Wissenschaften, Akademie der Wissenschaften in
Göttingen, Österreichische Akademie der Wissenschaften - 1935
Eine Funktion kann die Eigenschaft (a) besitzen und dennoch punktiert
oder sogar total unstetig sein.

Gesammelte mathematische Abhandlungen: Elliptische Funktionen,
insbesondere ...‎ - Seite 362
Felix Klein - 1922 - 809 Seiten
Daher hàngt nach § 4 des ersten Abschnittes eine geeignete lineare
Punktion von i, dh eine rationale Funktion von A0, A%, ...


Und dabei sind andere Treffer wie die folgenden gar nicht
berücksichtigt worden:

Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen verànderlichen
grösse‎ - Seite 245
Heinrich Durège - 1906 - 407 Seiten
... Blatt verlaufende Teil der Kurve Qt ist in der Figur punktiert
gezeichnet.

Verhandlungen, Band 59-60‎ - Seite 190 1966
Etwa die Hàlfte des Darmes war in Funktion (punktiert), und der Kot
könnt'1 über den natürlichen After entleert werden. Der Fisch lebte 3
Monate im Aquarium ...

Nicht alle obigen Definitionen besitzen denselben Inhalt. Doch sollte
jeder Mathematiker das Wort wenigstens einmal im Leben gehört haben.
Gesundheit! Nun ist das für die Leser des KB wenigstens geschehen.
Daraus folgt natürlich nicht, dass jeder Leser nun ein Mathematiker
ist. Aber die Mathematiker unter den Lesern wissen das.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Christopher Creutzig
02/05/2010 - 15:40 | Warnen spam
On 5/2/10 2:02 PM, WM wrote:
Eine punktierte Funktion ist eine Funktion die in einem speziellen
Punkt des Definitionsbereichs eine besondere Definition besitzt. Oft
geschieht dies, um eine Funktion stetig zu machen. Manchmal, um sie
unstetig zu machen. Jede differenzierbare Funktion mit Ausnahme
punktierter Funktionen besitzt eine stetige Ableitung. Man kann das



Gegenbeispiel: f(x) = int(2*t*cos(1/t)+sin(1/t), t=0..x). Nach Deiner
o.g. Definition ist das keine „punktierte Funktion“, die Ableitung ist
allerdings an der Stelle 0 unstetig (mit f'(0)=0, wie man leicht
ausrechnet.) Ich dachte, das hatten wir schon.

Übrigens, wenn Du *Sicherheit* willst, dann kauf' Dir 'n Toaster.
Da bekommst Du eine schöne Garantieurkunde. (Lars Gebauer)

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