Das Kalenderblatt 100514

13/05/2010 - 10:32 von WM | Report spam
This book advocates nothing less than the elimination of the infinite
from mathematics. [...] If we accept Brouwer's view, the only sets
which exist are those which are countable and have been effectively
well-ordered. The author remarks, and this is his principal point,
that we can as well go the whole way and admit the existence only of
finite sets. Any statement about a countable, effectively well-ordered
set can by a circumlocution be translated into a statement about the
rule by which the elements follow each other in the well-ordering,
which rule is something finite and definite. For example, we are shown
how it is possible in his scheme to prove that every bounded monotonic
sequence of irrational numbers has a limit. [...] It seems to me that
the author, besides producing an interesting book, has made a good
case for the contention that if we accept Brouwerism, we can get along
theoretically without the notion of an infinite set, whether or not
that notion is meaningless, as the author maintains. However, I do not
believe that the views of Brouwer will ever find general acceptance
among mathematicians. As this is not the place for an elaborate
discussion of the questions raised by the intuitionists, I should
merely like to add the following minor point to the prevailing
confusion. If the continuum hypothesis is true, it is conceivable that
someone may someday discover an effective way of well-ordering the
real number continuum so that every number has only a countable number
of predecessors. {{Aus der Tatsache, dass in einer abzàhlbar
unendlichen Menge jedes Element eine endliche Menge von Vorgàngern
hat, schließt der Autor wohl, dass in einer überabzàhlbaren Menge
jedes Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern hat. Das Argument
des Autors ist aus zweierlei Gründen falsch. Erstens kann eine
abzàhlbare Menge immer so angeordnet werden, dass sie keine
Limesordinalzahl sondern nur endliche Zahlen enthàlt. Eine Menge, in
der jedes Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern besitzt, ist
daher selbst abzàhlbar. Und zweitens soll Zermelos Satz ja nicht "nur"
für das Kontinuum gelten, sondern auch für "noch viel transfinitere"
Mengen. Darin, wenn ES sie denn gàbe, besàße sicher nicht jedes
Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern.}} If this were done it
would be practically a refutation of Brouwerism. It might seem, then,
that either the intuitionists must prove that it cannot be done, or
must proceed with a sort of sword of Damocles hanging over their
heads. {{Da scheint ein fundamentales Missverstàndnis seitens des
Referenten vorzuliegen. Jede tatsàchlich Anordnung des Kontinuums,
auch wenn sie nicht Wohlordnung genannt würde, wàre eine abzàhlbare
Ordnung und würde die Abzàhlbarkeit des Kontinuums beweisen, denn jede
reelle Zahl würde bei ihrem Namen genannt, der zu einer abzàhlbaren
Menge gehört. Dieser Absatz beweist, dass die Unmöglichkeit einer
tatsàchlichen Wohlordnung des Kontinuums noch 1931 unter Mathematikern
nicht allgemein bekannt war. Vermutlich ist sie es bis heute nicht.}}

[Orrin Frink: Rezension von Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der
Mathematik und seine Ausschaltung", Deuticke, Leipzig (1930), Bull.
Amer. Math. Soc. 37 (1931) 149-150.]
http://projecteuclid.org/DPubS?serv...1183494611
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
13/05/2010 - 19:23 | Warnen spam
WM wrote:



This book advocates nothing less than the elimination of the infinite
from mathematics. [...] If we accept Brouwer's view, the only sets
which exist are those which are countable and have been effectively
well-ordered. The author remarks, and this is his principal point,
that we can as well go the whole way and admit the existence only of
finite sets. Any statement about a countable, effectively well-ordered
set can by a circumlocution be translated into a statement about the
rule by which the elements follow each other in the well-ordering,
which rule is something finite and definite. For example, we are shown
how it is possible in his scheme to prove that every bounded monotonic
sequence of irrational numbers has a limit. [...] It seems to me that
the author, besides producing an interesting book, has made a good
case for the contention that if we accept Brouwerism, we can get along
theoretically without the notion of an infinite set, whether or not
that notion is meaningless, as the author maintains. However, I do not
believe that the views of Brouwer will ever find general acceptance
among mathematicians. As this is not the place for an elaborate
discussion of the questions raised by the intuitionists, I should
merely like to add the following minor point to the prevailing
confusion. If the continuum hypothesis is true, it is conceivable that
someone may someday discover an effective way of well-ordering the
real number continuum so that every number has only a countable number
of predecessors. {{Aus der Tatsache, dass in einer abzàhlbar
unendlichen Menge jedes Element eine endliche Menge von Vorgàngern
hat, schließt der Autor wohl, dass in einer überabzàhlbaren Menge
jedes Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern hat.



Nee, Mückenheim, so schließt der Autor nicht. Und wenn Sie rudimentàr
verstanden hàtten, was bereits Cantor in seinen Arbeiten dargelegt hat,
dann könnten Sie auf diese Ihre Schnapsidee und Ihren nachfolgenden Stuß
nicht verfallen. Mit anderen Worten, Sie haben trotz mindestens 7jàhrigen
Bemühungen nicht die Bohne von den Dingen kapiert, die Sie in unterdessen
mehr als zwanzigtausend Postings beschwafelt haben, bilden sich aber das
genaue Gegenteil ein. Wie darf man so jemand im Musterlande der
wohlgestelzten Meinungsfreiheit nennen, ohne mit dem Strafgesetz in
Konflikt zu geraten?

Das Argument
des Autors ist aus zweierlei Gründen falsch. Erstens kann eine
abzàhlbare Menge immer so angeordnet werden, dass sie keine
Limesordinalzahl sondern nur endliche Zahlen enthàlt. Eine Menge, in
der jedes Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern besitzt, ist
daher selbst abzàhlbar. Und zweitens soll Zermelos Satz ja nicht "nur"
für das Kontinuum gelten, sondern auch für "noch viel transfinitere"
Mengen. Darin, wenn ES sie denn gàbe, besàße sicher nicht jedes
Element eine abzàhlbare Menge von Vorgàngern.}}



Der Autor spricht vom Kontinuum und der (nichtverallgemeinerten)
Kontinuumshypothese, nicht von irgendwelchen noch viel größeren Mengen oder
von "Zermelos Satz", der Ihr Hirn offenbar bis zur Oberkante ausfüllt.

If this were done it
would be practically a refutation of Brouwerism. It might seem, then,
that either the intuitionists must prove that it cannot be done, or
must proceed with a sort of sword of Damocles hanging over their
heads. {{Da scheint ein fundamentales Missverstàndnis seitens des
Referenten vorzuliegen.



Nee, der Extraspezialexperte sind alleinig Sie.

Jede tatsàchlich Anordnung des Kontinuums,
auch wenn sie nicht Wohlordnung genannt würde, wàre eine abzàhlbare
Ordnung



Es gibt eine wohlbekannte Anordnung des Kontinuums, die aber weit davon
entfernt ist, eine Wohlordnung zu sein. Aber das ist zumindest noch eine
sinnvolle Feststellung. "wàre eine abzàhlbare Ordnung" ist hingegen völlig
sinnfreies Geschwafel.

und würde die Abzàhlbarkeit des Kontinuums beweisen, denn jede
reelle Zahl würde bei ihrem Namen genannt, der zu einer abzàhlbaren
Menge gehört. Dieser Absatz beweist, dass die Unmöglichkeit einer
tatsàchlichen Wohlordnung des Kontinuums noch 1931 unter Mathematikern
nicht allgemein bekannt war. Vermutlich ist sie es bis heute nicht.}}



Was der Autor für möglich hàlt, dessen Unmöglichkeit ist ihm offenbar nicht
bekannt. Welch bewundernswerte Geistesschàrfe, das zu bemerken! Können Sie
eigentlich _irgendwas_ sagen, was nicht entweder saudumm oder deppenmàßig
banal oder beides ist?

[Orrin Frink: Rezension von Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der
Mathematik und seine Ausschaltung", Deuticke, Leipzig (1930), Bull.
Amer. Math. Soc. 37 (1931) 149-150.]



http://projecteuclid.org/DPubS?serv...1183494611
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)



Nebenbei bemerkt, wàre ein Nachweis, daß der Begriff des "Unendlichen" aus
der Mathematik eliminiert werden kann, ja ein Nachweis, daß man ihn
gefahrlos benützen kann. Ob der wackere Herr Büch das bemerkt hat?

"A genuine mathematical fact has to incorporate /infinitely/ many facts, and
the generic enumeration problem is to enumerate not just one set but all
the sets in an infinite family"
(Doron Zeilberger in: The Princeton Companion to Mathematics, p.550)

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