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Das Kalenderblatt 100517

16/05/2010 - 19:19 von WM | Report spam
Es entsteht nun die weitere Frage, in welchem Verhàltnis der Aufstieg
zu höheren Màchtigkeiten mit Hilfe des Wohlordnungskalküls zu dem oben
dargestellten und kritisierten Aufstieg mit Hilfe der
Potenzmengenbildung steht. Jener führt voraussetzungsgemàß sicherlich
zur nàchsthöheren Kardinalzahl, hingegen könnte es sein, daß bei der
Potenzmengenbildung Kardinalzahlen übersprungen werden. Im Vordergrund
des Interesses steht hier begreiflicherweise der erste Schritt im
Unendlichen, d. i. die Frage, ob die Potenzmenge der abzàhlbaren
Mengen, die mit dem sogenannten Kontinuum gleichmàchtig ist, die
Màchtigkeit aleph_1 oder eine höhere Màchtigkeit hat. Dieses berühmte
ungelöste – und wie wir zeigen werden, unlösbare – Problem der
Mengenlehre führt den Namen Kontinuumproblem. An seine Bewàltigung
haben seit Jahrzehnten eine Reihe der bedeutendsten Mathematiker ihre
Kraft gewendet. [...]
Wir haben oben bei Analyse des Diagonalverfahrens dargetan, daß durch
diesen Beweis keineswegs die "Existenz“ höherer transfiniter
Màchtigkeiten garantiert wird [...]
Mit dem Begriff einer Menge von höherer als abzàhlbarer Màchtigkeit
könnte also nur dann sinnvoll operiert werden, wenn es sich zeigen
ließe, daß der Progreß in der Reihe der Ordinalzahlen selbst, also die
Iteration von Hintereinanderschaltungen und Ineinanderschachtelungen
von Gesetzen, über das Abzàhlbare hinausführt, d. h. zu Mengen führt,
die der Menge der natürlichen Zahlen nicht ein-eindeutig zuordenbar
sind, wàhrend sie echte Teilmengen besitzen, für die eine solche
Zuordenbarkeit besteht.
Kurz formuliert: An keinem Punkte der Theorie der transfiniten
Ordinalzahlen darf eine unabhàngig hievon bestehende Stufenfolge
transfiniter Kardinalzahlen vorausgesetzt werden. Die Zweigleisigkeit
im transfiniten Prozeß fàllt fort. Auf eben dieser Voraussetzung aber
beruht die Cantorsche Begründung der Stufenfolge transfiniter
Zahlenklassen und ist darum hinfàllig.
Damit erweist sich der einzige von Cantor angegebene Weg, um zu
höheren Alephs zu gelangen, als ungangbar. Doch bedarf es noch des
Beweises, daß ein solcher Aufstieg prinzipiell ausgeschlossen ist.
Machen wir uns deutlich, was es besagen würde, wenn durch irgend ein
Verfahren ein derartiger Aufstieg zu einer höheren Màchtigkeit möglich
wàre. Dann müßte es offenbar Aussagen der reinen Mathematik geben, die
nur innerhalb der Sphàre dieser höheren Màchtigkeiten gelten würden.
Denn mathematische Gegenstànde unterscheiden sich ja nur durch die
Verschiedenheiten der logischen Beziehungen, als deren ,,Tràger“ sie
definiert sind, und da die Ordnungszahlen, die zu höheren
Zahlenklassen als der zweiten Zahlenklasse gehören würden, "neue“,
d.h. von jeder endlichen und abzàhlbaren Ordnungszahl verschiedene
Zahlen sein sollen, müßten gewisse widerspruchsfreie Systeme
mathematischer Aussagen bestehen, die zwar für sie zutreffen, aber für
keine Zahl der ersten oder der zweiten Zahlenklasse. Demgemàß würde
der Beweis, daß solche Systeme mathematischer Aussagen nicht denkbar
sind, die Ausschaltung der über aleph_0 hinausgehenden Kardinalzahlen
bedeuten.
Dieser Beweis aber wurde tatsàchlich erbracht, und zwar im Anschluß an
L. Löwenheim von Th. Skolem, und es ist charakteristisch für die
starke Immunisierung der mengentheoretischen Forschung gegen
Antinomien {{schon allein dieser höflichen Wendung wegen lohnt es, das
Buch zu lesen}}, daß dieser Beweis nicht noch weit größere
Beunruhigung hervorgerufen hat, als dies tatsàchlich der Fall war.
Der Löwenheim-Skolemsche Satz lautet: "Es sei eine unendliche Reihe
von Zàhlaussagen gegeben, u_1, u_2 . mit den ganzen Zahlen
numeriert; ist dann die Forderung der gleichzeitigen Gültigkeit aller
dieser Aussagen widerspruchsfrei, so können sie alle gleichzeitig
erfüllt werden innerhalb der unendlichen Reihe der ganzen positiven
Zahlen l, 2, 3, . bei passender Wahl der Klassen- und
Relationssymbole.“
{{Diese Aussage ist nicht ganz identisch mit der von Skolem gezogenen
Folgerung aus seinem Beweis, aber sie ist richtig, sehr leicht zu
beweisen und sehr direkt zu verstehen. Denn alle sinnvollen (weil
endlichen) Aussagen überhaupt können mit den natürlichen Zahlen
nummeriert werden. Diese klare Aussage hat den Vorteil, dass
relativistische Argumente über "interne und externe Abzàhlbarkeit",
wie sie von Skolem selbst ins Spiel gebracht worden sind, hier nicht
zur Bemàntelung eines Widerspruchs der transfiniten Mengenlehre
herangezogen werden können.}}

[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
157ff]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Gruß, WM
 

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#1 Wolfgang Thumser
16/05/2010 - 20:21 | Warnen spam
Hallo Wolfgang,

[...] ist dann die Forderung der gleichzeitigen Gültigkeit aller
dieser Aussagen widerspruchsfrei, so können sie alle gleichzeiti
erfüllt werden innerhalb der unendlichen Reihe der ganzen positiven
Zahlen l, 2, 3, . bei passender Wahl der Klassen- und
Relationssymbole.“
{{Diese Aussage ist nicht ganz identisch mit der von Skolem gezogenen
Folgerung aus seinem Beweis, aber sie ist richtig, sehr leicht zu
beweisen und sehr direkt zu verstehen.



Die Existenz eines abzaehlbaren Modells aus der Widerspruchsfreiheit
der zugrunde liegenden FOPL Theorie zu folgern, ist nicht sehr leicht
zu beweisen. Dieser Beweis ist Inhalt von K. Goedels Dissertation,
siehe etwa:

K. Goedel. Die Vollstaendigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuels.
"Monatshefte fuer Mathematik und Physik", 1930, Vol.37, pp.349-360.

Der Beweis wurde spaeter von L. Henkin und G. Hasenjaeger vereinfacht:

L. Henkin. The completeness of the first-order functional calculus.
"J. Symbolic Logic", 1949, vol.14, pp.159-166.

G. Hasenjaeger. Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis fuer die Vollstaendigkeit
des Praedikatenkalkuels der ersten Stufe. "J. Symbolic Logic", 1953, vol.18,
pp.42-48.

(Das Journal of Symbolic Logic nimmt keine trivial zu beweisenden
Saetze als Arbeiten an, und da ich G. Hasenjaeger noch persoenlich
kannte, ist die Abwertung seines Ergebnisses als _sehr leicht_ in
diesem Zusammenhang unangemessen)

Denn alle sinnvollen (weil
endlichen) Aussagen überhaupt können mit den natürlichen Zahlen
nummeriert werden. Diese klare Aussage hat den Vorteil, dass
relativistische Argumente über "interne und externe Abzàhlbarkeit",
wie sie von Skolem selbst ins Spiel gebracht worden sind, hier nicht
zur Bemàntelung eines Widerspruchs der transfiniten Mengenlehre
herangezogen werden können.}}



Falls ZFC widerspruchsfrei ist (was bis heute keiner weiss, weil es
bis heute keinem gelungen ist, aus den logischen Schlussregeln von
FOPL (die seit ueber 60 Jahren feststehen wie die Schachregeln) bspw.
die Zeichenkette "~x=x" abzuleiten), gibt es hier nichts zu bemaenteln.

Falls ZFC i.o.S. widerspruchsvoll ist (was bis heute auch keiner weiss),
gibt es auch nichts zu bemaenteln, weil JSL nichts lieber taete, als
einen solchen Beweis zu veroeffentlichen (natuerlich strikt nach den
in Stein gemeisselten Regeln von FOPL, wie man sie seit ueber 40 Jahren
zusammen mit den Axiomen von ZFC in J. Shoenfields Buch ueber
Mathematical Logic noch immer unveraendert nachlesen kann).

_Innerhalb_ eines abzaehlbaren Modells von ZFC (so ZFC widerspruchsfrei
ist und nach obigem ein solches existiert) existiert kein Objekt
dieses Modells, welches die Eigenschaft einer Bijektion zw. dem Objekt
|N und dem Objekt |R des Modells hat (diese Objekte koennen bei abzaehl-
baren Modellen mit Strichmuster identifiziert werden, also |N bspw. mit
"|" und |R mit "||", dann gibt es kein Strichmuster, welches die Eigenschaft
einer Bijektion hat).

_Ausserhalb_ des Modells sind, die Objekte, welche mit dem Strichmuster
"||" in epsilon Beziehung stehen, trivialerweise abzaehlbar,
denn es gibt nur abzaehlbar viele Strichmuster, die das tun.

Gruss Wolfgang

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