Das Kalenderblatt 100522

21/05/2010 - 13:25 von WM | Report spam
Legen wir uns nunmehr rückblickend die Frage vor, wieso die von uns
als ungereimt nachgewiesene Bildung einer Stufenfolge transfiniter
Màchtigkeiten dennoch einen so hohen Grad von Scheinbarkeit besitzt,
daß sie auch heute noch von den bedeutendsten mathematischen Denkern
der Gegenwart als Erkenntnistatsache angesehen wird {{Dieser Satz ist
eine der wenigen Ungenauigkeiten Kaufmanns, und die Situation hat sich
glücklicherweise auch geàndert:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU11c.PPT#405,50,Folie 50
ff}}, so werden wir wieder auf die allgemeinen Bemerkungen
zurückgeführt, die wir in
der Einleitung zu der vorliegenden Arbeit über die typischen Irrwege
des von "Begriffen“ (Symbolen) einen "überschwànglichen“ Gebrauch
machenden Denkens gemacht haben. Wir haben dort folgende Schritte
unterschieden: Der erste liegt in einer echten mathematischen
Erkenntnis. An diese knüpft sich dann zweitens auf Grund der
mathematischen Symbolik eine Interpretation, die über den faktischen
Erkenntnisgehalt in einer bestimmten Richtung hinausgeht. Drittens
endlich findet dann auf Grund der vollzogenen Interpretation jene
Symbolik auch dort Verwendung, wo die den Bedeutungsgehalt der
Symbolik ursprünglich bestimmenden Erkenntnistatsachen fehlen.
Im Falle der Mengenlehre entspricht dem ersten Schritt das
Diagonalverfahren, durch welches einwandfrei gezeigt wird, daß durch
jede beliebige Folge von Zahlenfolgen weitere Zahlenfolgen bestimmt
werden, welche in jener Folge von Zahlenfolgen nicht enthalten sind
{{wobei nach "Ausschaltung des Unendlichen" selbstredend nur endliche,
d. h. potentiell unendliche Folgen in Frage kommen}}.
Nun erfolgt der zweite gedankliche Schritt, die über den Sinn des
Diagonalverfahrens hinausgehende Interpretation. Es wird nàmlich – auf
Grund des meist stillschweigend vorausgesetzten Komprehensionsprinzips
– behauptet, daß durch den ersten Schritt die mathematische Existenz
einer höheren Màchtigkeit als derjenigen der Gesamtheit der
natürlichen Zahlen erwiesen sei.
Der dritte Schritt aber besteht darin, daß man mit jener "Existenz
höherer Màchtigkeiten“ unabhàngig von der ihr zugrunde liegenden
Erkenntnistatsache des Diagonalverfahrens in der Weise operiert, daß
man sie als konstruktiv ausschöpfbar ansieht und sie bei
mathematischen Konstruktionen wesentlich mitbenutzt. (Aufstieg zu
höheren Zahlenklassen.)
Demgegenüber hat sich aus dem Löwenheim-Skolemschen Satze {{Auch an
dieser Stelle ist der einfachere Satz vorzuziehen: Alles Nennbare,
Sinnvolles A wie Sinnloses B wie Unentscheidbares C bildet eine
abzàhlbare Menge M = A U B U C. Womit der matheologische Trick ad
absurdum geführt wird, aus der Nichtexistenz einer sinnvollen
Abzàhlung alles Sinnvollen auf A > A U B U C schließen zu wollen.}}
folgende Einsicht ergeben: Nimmt man zunàchst hypothetisch im Sinne
der Mengenlehre höhere transfinite Màchtigkeiten an, so làßt sich
zeigen, daß sich über diese widerspruchsfrei nichts aussagen làßt, was
nicht schon im Bereich des Abzàhlbaren gilt, daß also der neu
eingeführte Begriff, soferne er sich nicht als widerspruchsvoll
erweist, abundant ist.
Ist letzteres der Fall, so hat man sinnvolle Aussagen vor sich, und es
ist nur die Interpretation, nach welcher es sich hiebei um Aussagen
über unabzàhlbar Unendliches handelt, abzulehnen. Auf Grund solcher
Interpretationen entsteht jedoch der Anschein einer logisch-
mathematischen Legitimierung der Sphàre des unabzàhlbar Unendlichen,
da sich ja "über sie“ sinnvolle Aussagen machen lassen.

[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
169ff]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Karl Heinz
21/05/2010 - 13:29 | Warnen spam
WM schrieb:

Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
169ff]



Es wird Zeit, mal eine email an den Buchverlag zu schicken mit
dem Hinweis, dass du, WM, auf kriminelle Weise, nach und nach
hier ganze Bücher raubkopierst.

Letzte Warnung: unterlass das!

Ähnliche fragen