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Das Kalenderblatt 100526

25/05/2010 - 08:57 von WM | Report spam
Wir wollen nun das Axiomensystem, das A. Fraenkel in seiner
„Einleitung in die Mengenlehre“ aufstellt, wiedergeben und hieran,
ohne auf eine Analyse im einzelnen einzugehen, einige Bemerkungen
prinzipieller Natur knüpfen. [Vgl. zu dem folgenden, S. 268 ff. Die
Fraenkelsche Axiomatik ist eine Verbesserung derjenigen von Zermelo
und zeichnet sich durch besondere Klarheit und Einfachheit aus.]
[...] Die Fraenkelsche Axiomatik enthàlt – sc. neben den Begriffen der
formalen Logik – eine einzige Grundrelation, die durch das Symbol eps
gekennzeichnet wird.
[...] "Definition 1. Sind m und n Mengen von der Art, daß jedes
Element der Menge m auch in n als Element vorkommt (daß also aus a in
m stets a in n folgt), so wird m eine Teilmenge der Menge n genannt.“
[...] Es fragt sich jetzt, welches von diesen Axiomen den Aufstieg zum
unabzàhlbar Unendlichen gewàhrleisten würde und demgemàß unseren
früher gemachten Einwànden unterliegt. Da ergibt sich nun, wie
gemeinhin bekannt, daß diese Funktion dem Axiom der Potenzmenge
zukommt, weshalb sich in ihm ein wichtiger Teil der
mengentheoretischen Problematik zentriert. Da nun aber – wie wir
erkannt haben – der Aufbau der höheren transfiniten Màchtigkeiten auf
dem Komprehensionsprinzip {{wonach durch jede mathematische
Eigenschaft eine Gesamtheit von Gegenstànden, die diese Eigenschaft
besitzen, bestimmt wird}} basiert, so werden wir vermuten dürfen, daß
in jenem Axiom wesentlicher Gebrauch von diesem Prinzip gemacht wird.
Diese Vermutung bestàtigt sich; das Axiom der Potenzmenge kann als
unmittelbare Folgerung aus dem Komprehensionsprinzip gewonnen werden.
Denn daß eine Menge "gegeben“, d. h. eindeutig bestimmt ist, schließt
ein, daß es für jeden gegebenen Gegenstand objektiv feststeht, ob er
eine Teilmenge dieser Menge ist oder nicht. Der Schluß von dieser
Definitheit beliebiger Teilmengen auf die Definitheit der Gesamtheit
der Teilmengen einer gegebenen Menge ist nichts anderes als die
Anwendung des Komprehensionsprinzips.
Allerdings gilt dies nur dann, wenn das Axiom der Potenzmenge als
reines Existenzaxiom aufgefaßt wird, wie bei Zermelo. Bei Fraenkel
hingegen verhàlt es sich anders, da er nur konstruktiv gewonnene
Teilmengen berücksichtigen will. Er bemerkt nàmlich zu diesem Axiom:
"Es werde hier nochmals hervorgehoben, daß, wie in Definition 1, so
auch in Axiom IV, der Begriff 'Teilmenge’ eine andere, wesentlich
engere Bedeutung hat als in der Cantorschen Mengenlehre. In dieser
konnten wir bei Bildung der Potenzmenge U m eine beliebige Gesamtheit
von Elementen von m zu einer Teilmenge von m zusammenfassen und waren
dann sicher, daß diese sich unter den Elementen von U m findet. Jetzt
ist uns eine derartige, weitgehende Freiheit gewàhrende 'Bildung’
einer Teilmenge von m nicht gestattet, also auch ihr Auftreten unter
den Elementen von U m keineswegs gesichert. Vielmehr muß uns eine
Menge erst anderweitig als existierend gegeben sein, damit wir sie
nach Definition 1 darauf prüfen können, ob sie etwa Teilmenge von m
ist; dann erst können wir bei günstigem Ausfall der Prüfung ihres
Auftretens in U m sicher sein.“ [A.a.O., S. 279.]
In dieser, konstruktivistischen Postulaten genügenden, Definition der
Potenzmenge wird also die "anderweitige Gegebenheit“ jeder einzelnen
Teilmenge verlangt. Für abzàhlbare Teilmengen bedeutet dies, daß jedes
einzelne konstitutive Bildungsgesetz vorliegen muß. "Sàmtliche“
abzàhlbare Teilmengen einer abzàhlbaren Menge aber können nicht in
dieser Weise vorliegen, und deshalb wird der Aufstieg zum "absolut
Unabzàhlbaren“ im Sinne der Cantorschen Mengenlehre durch dieses
"gereinigte“ Postulat nicht erzielt. [Den Hinweis hierauf verdanke ich
Herrn Carnap.]
{{Der hatte also auch schon etwas gemerkt! Im geflissentlich so
genannten "Standardmodell", das nicht wirklich ein Modell für ZF ist,
enthàlt die Potenzmenge U omega jede Kombination von natürlichen
Zahlen. In einem wirklichen, "von außen abzàhlbaren" Modell für ZF
müssen alle Elemente von omega, können aber nicht alle Untermengen von
omega, also alle Elemente von U omega, vorhanden sein. Das bedeutet,
dass einige Untermengen von omega im Modell vorhanden sind, andere
hingegen nicht. Ein abzàhlbares Modell müsste somit omega vollstàndig
enthalten, aber einen Mechanismus besitzen, der viele Elemente von U
omega ausschließt. Das führt, wenn überhaupt, zu einem sehr
artifiziellen Modell, das, selbst wenn es existiert, keinerlei
Rückschlüsse auf die Konsistenz und Widerspruchsfreiheit von ZF bei
Anwendung auf die "Zahlen" erlaubt.
Außerdem dürfte im gedachten Modell die U omega nicht abzàhlbar
"erscheinen", d. h. es dürfte keine Surjektion phi von omega nach U
omega existieren. Man benötigt demnach einen Aussonderungsmechanismus
(nicht zu verwechseln mit dem Aussonderungsaxiom) und das Fehlen der
Funktion phi. Wenn aber, o Schreck, zwar der Aussonderungsmechanismus
funktioniert, die Funktion phi aber nicht fehlt? Dann führt die
Bildung der Potenzmenge nicht zu höherer Kardinalzahl und die Menge
aller Mengen ist nicht nur möglich sondern sogar abzàhlbar. Ein sehr
vernünftiges Modell. Auf, Ihr Mengenlehrer, sucht es! Dann habt Ihr
auch gleich noch den Widerspruch in ZF, an den wohl nicht wirklich
jemand nicht glaubt - trotz gegenteilig lautender Durchhalteparolen.}}

[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
173ff]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Gruß, WM
 

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#1 Albrecht
25/05/2010 - 12:31 | Warnen spam
On 25 Mai, 08:57, WM wrote:
Wir wollen nun das Axiomensystem, das A. Fraenkel in seiner
„Einleitung in die Mengenlehre“ aufstellt, wiedergeben und hieran,
ohne auf eine Analyse im einzelnen einzugehen, einige Bemerkungen
prinzipieller Natur knüpfen. [Vgl. zu dem folgenden, S. 268 ff. Die
Fraenkelsche Axiomatik ist eine Verbesserung derjenigen von Zermelo
und zeichnet sich durch besondere Klarheit und Einfachheit aus.]
[...] Die Fraenkelsche Axiomatik enthàlt – sc. neben den Begriffen der
formalen Logik – eine einzige Grundrelation, die durch das Symbol eps
gekennzeichnet wird.
[...] "Definition 1. Sind m und n Mengen von der Art, daß jedes
Element der Menge m auch in n als Element vorkommt (daß also aus a in
m stets a in n folgt), so wird m eine Teilmenge der Menge n genannt.“
[...] Es fragt sich jetzt, welches von diesen Axiomen den Aufstieg zum
unabzàhlbar Unendlichen gewàhrleisten würde und demgemàß unseren
früher gemachten Einwànden unterliegt. Da ergibt sich nun, wie
gemeinhin bekannt, daß diese Funktion dem Axiom der Potenzmenge
zukommt, weshalb sich in ihm ein wichtiger Teil der
mengentheoretischen Problematik zentriert. Da nun aber – wie wir
erkannt haben – der Aufbau der höheren transfiniten Màchtigkeiten auf
dem Komprehensionsprinzip {{wonach durch jede mathematische
Eigenschaft eine Gesamtheit von Gegenstànden, die diese Eigenschaft
besitzen, bestimmt wird}} basiert, so werden wir vermuten dürfen, daß
in jenem Axiom wesentlicher Gebrauch von diesem Prinzip gemacht wird.
Diese Vermutung bestàtigt sich; das Axiom der Potenzmenge kann als
unmittelbare Folgerung aus dem Komprehensionsprinzip gewonnen werden.
Denn daß eine Menge "gegeben“, d. h. eindeutig bestimmt ist, schließt
ein, daß es für jeden gegebenen Gegenstand objektiv feststeht, ob er
eine Teilmenge dieser Menge ist oder nicht. Der Schluß von dieser
Definitheit beliebiger Teilmengen auf die Definitheit der Gesamtheit
der Teilmengen einer gegebenen Menge ist nichts anderes als die
Anwendung des Komprehensionsprinzips.
Allerdings gilt dies nur dann, wenn das Axiom der Potenzmenge als
reines Existenzaxiom aufgefaßt wird, wie bei Zermelo. Bei Fraenkel
hingegen verhàlt es sich anders, da er nur konstruktiv gewonnene
Teilmengen berücksichtigen will. Er bemerkt nàmlich zu diesem Axiom:
"Es werde hier nochmals hervorgehoben, daß, wie in Definition 1, so
auch in Axiom IV, der Begriff 'Teilmenge’ eine andere, wesentlich
engere Bedeutung hat als in der Cantorschen Mengenlehre. In dieser
konnten wir bei Bildung der Potenzmenge U m  eine beliebige Gesamtheit
von Elementen von m zu einer Teilmenge von m zusammenfassen und waren
dann sicher, daß diese sich unter den Elementen von U m findet. Jetzt
ist uns eine derartige, weitgehende Freiheit gewàhrende 'Bildung’
einer Teilmenge von m nicht gestattet, also auch ihr Auftreten unter
den Elementen von U m keineswegs gesichert. Vielmehr muß uns eine
Menge erst anderweitig als existierend gegeben sein, damit wir sie
nach Definition 1 darauf prüfen können, ob sie etwa Teilmenge von m
ist; dann erst können wir bei günstigem Ausfall der Prüfung ihres
Auftretens in U m sicher sein.“ [A.a.O., S. 279.]
In dieser, konstruktivistischen Postulaten genügenden, Definition der
Potenzmenge wird also die "anderweitige Gegebenheit“ jeder einzelnen
Teilmenge verlangt. Für abzàhlbare Teilmengen bedeutet dies, daß jedes
einzelne konstitutive Bildungsgesetz vorliegen muß. "Sàmtliche“
abzàhlbare Teilmengen einer abzàhlbaren Menge aber können nicht in
dieser Weise vorliegen, und deshalb wird der Aufstieg zum "absolut
Unabzàhlbaren“ im Sinne der Cantorschen Mengenlehre durch dieses
"gereinigte“ Postulat nicht erzielt. [Den Hinweis hierauf verdanke ich
Herrn Carnap.]
{{Der hatte also auch schon etwas gemerkt! Im geflissentlich so
genannten "Standardmodell", das nicht wirklich ein Modell für ZF ist,
enthàlt die Potenzmenge U omega jede Kombination von natürlichen
Zahlen. In einem wirklichen, "von außen abzàhlbaren" Modell für ZF
müssen alle Elemente von omega, können aber nicht alle Untermengen von
omega, also alle Elemente von U omega, vorhanden sein. Das bedeutet,
dass einige Untermengen von omega im Modell vorhanden sind, andere
hingegen nicht. Ein abzàhlbares Modell müsste somit omega vollstàndig
enthalten, aber einen Mechanismus besitzen, der viele Elemente von U
omega ausschließt. Das führt, wenn überhaupt, zu einem sehr
artifiziellen Modell, das, selbst wenn es existiert, keinerlei
Rückschlüsse auf die Konsistenz und Widerspruchsfreiheit von ZF bei
Anwendung auf die "Zahlen" erlaubt.
Außerdem dürfte im gedachten Modell die U omega nicht abzàhlbar
"erscheinen", d. h. es dürfte keine Surjektion phi von omega nach U
omega existieren. Man benötigt demnach einen Aussonderungsmechanismus
(nicht zu verwechseln mit dem Aussonderungsaxiom) und das Fehlen der
Funktion phi. Wenn aber, o Schreck, zwar der Aussonderungsmechanismus
funktioniert, die Funktion phi aber nicht fehlt? Dann führt die
Bildung der Potenzmenge nicht zu höherer Kardinalzahl und die Menge
aller Mengen ist nicht nur möglich sondern sogar abzàhlbar. Ein sehr
vernünftiges Modell. Auf, Ihr Mengenlehrer, sucht es! Dann habt Ihr
auch gleich noch den Widerspruch in ZF, an den wohl nicht wirklich
jemand nicht glaubt - trotz gegenteilig lautender Durchhalteparolen.}}

[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
173ff]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Gruß, WM



Es war mir schon immer ein Ràtsel, wie sich die Ansicht durchsetzen
konnte, mit der Potenzierung wàren grundsàtzlich andere Zahlbereiche
erreichbar wie mit anderen Rechenoperationen; sei es nun im Bereich
der Zahlen oder der Mengen.
Die Potenzierung ist üblicherweise auf die Multiplikation
zurückzuführen. Und damit ist das, was mit der Potenz erreichbar ist,
prinzipiell auch mit der Multiplikation erreichbar.

Das gàngige und immer wieder zu hörende Argument, dass schließlich
jede Potentzmenge größer als ihre Ausgangsmenge sei und deshalb auch
die Potenzmenge einer unendlichen Menge größer sein muß als diese, ist
so etwas von blöd, dass man es gar nicht mehr sagen kann.

Gruß
Albrecht

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