Das Kalenderblatt 100611

10/06/2010 - 10:38 von WM | Report spam
Ist M eine beliebige endliche oder unendliche Menge, so wollen wir die
Menge aller verschiedenen Teilmengen (Untermengen) von M nach ZERMELO
mit UM [...] bezeichnen. Jedes Element von UM ist eine Teilmenge von M
und umgekehrt ist jede Teilmenge von M (M selbst sowie die Nullmenge
eingeschlossen) ein Element von UM. Es kann und soll nun gezeigt
werden, daß die Màchtigkeit von UM größer ist als die von M. {{Das
funktioniert nicht immer. Falls die Mengenlehre ein abzàhlbares Modell
besitzt, so muss der Satz in unendlich vielen Fàllen falsch sein, denn
es können unendlich oft Potenzmengen von Potenzmengen gebildet werden
- und alle sind abzàhlbar. Andererseits darf diese Ausnahme nur
gelten, falls im Modell keine Abzàhlfunktion phi existiert, sonst
nicht! Ein àußerst mysteriöses Verhalten, weil nàmlich der
Hessenbergsche Beweis des Satzes von Cantor nur bei vollstàndigem
Vorhandensein der Potenzmenge funktioniert. Nach der umstàndlichen
Durchführung dieses Beweis folgt nun eine kurze Ermutigung:}} Der
Leser lasse sich durch die [...] zunàchst paradox anmutende
Betrachtung nicht einschüchtern, sondern mache sie sich gründlich zu
eigen {{und dann folgt der triumphale Schluss:}}

Aus dem Satz von CANTOR schließen wir: Ist M eine beliebige unendliche
Menge von einer Kardinalzahl f, so erhalten wir in UM = U eine Menge
von einer Kardinalzahl m > f, in UU wiederum eine Menge von einer
Kardinalzahl
n > m und so endlos weiter. [...]

Wie besonders hervorgehoben zu werden verdient, stellt unser Satz
nicht etwa ein bloßes "Existenztheorem" dar; er besagt nicht nur, daß
zu einer gegebenen Kardinalzahl eine größere /existiert/, sondern er
gibt auch ein einfaches Verfahren an, eine solche /wirklich zu
bilden/. {{Mit diesen stolzen Worten im Kursivdruck schließt der
Absatz auf S. 53 der Auflage von 1923. In der Auflage von 1928 ist der
pràpotente Kursivdruck zwar noch immer vorhanden (hier nun auf S. 70),
doch ein schüchternes "vgl. indes S. 326" ist in Klammern angefügt.
Und was finden wir dort?}}

Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik
làßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich
ohne Heranziehung nicht-pràdikativer Prozesse - das überabzàhlbar
Unendliche nicht erfassen {{es ist also nicht /wirklich zu bilden/}},
falls man es nicht etwa in allzu elastischer Dehnung des Begriffs
"reine Anschauung“ sich als unmittelbar gegeben denken will, z. B. in
der Form des Kontinuums; das darf man zum mindesten wohl so lange
behaupten, als nicht etwa eine reinliche Lösung des Kontinuumproblems
die Kluft überbrückt, die zwischen der Potenzmenge und den
Konstruktionsprinzipien der Wohlordnungstheorie einstweilen noch gàhnt
{{und, wie inzwischen allgemein bekannt ist, auch weiterhin gàhnen
wird. Es ist demnach nicht möglich, alle Elemente einer Potenzmenge zu
konstruieren. Dem Hessenbergeschen "Beweis" ist die Grundlage
entzogen. Das unbegrenzte Aufsteigen in unendliche Unendlichkeiten und
das wirkliche Bilden immer größere Mengen ist offenbar eine widerlegte
Illusion. Doch weit gefehlt, zu erwarten, dass Fraenkel dies explizit
zugibt. Das Spielzeug ist inwischen unentbehrlich geworden. Nur auf S.
279f (3. Aufl.) wird noch erwàhnt, dass}} in Axiom IV der Begriff
„Teilmenge“ eine andere, wesentlich engere Bedeutung hat als in der
CANTORschen Mengenlehre. In dieser konnten wir bei der Bildung der
Potenzmenge Um eine beliebige Gesamtheit von Elementen aus m zu einer
Teilmenge von m zusammenfassen und waren dann sicher, daß diese sich
unter den Elementen von Um findet. Jetzt ist uns eine derartige,
weitgehende Freiheit gewàhrende "Bildung“ einer Teilmenge von m nicht
gestattet, also auch ihr Auf- treten unter den Elementen von Um
keineswegs gesichert. {{Im Hessenbergesche "Beweis" wird die Existenz
aller Teilmengen benötigt. Er setzt nàmlich insonderheit die Teilmenge
voraus, die die auf sie abgebildete natürliche Zahl enthàlt, wenn sie
sie nicht enthàlt und umgekehrt.
Trotzdem gibt es noch immer Matheologen, die in Kenntnis dieser
Zusammenhànge wider besseres Wissen (oder auch unwissentlich) die
Gültigkeit des "Beweises" behaupten. Der Leser lasse sich durch diese
zunàchst paradox anmutende Betrachtung nicht einschüchtern, sondern
überzeuge sich einfach selbst davon.}}

[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin, 2.
Aufl. 1923 und 3. Aufl. 1928]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
10/06/2010 - 19:03 | Warnen spam
WM schrieb:


In der Auflage von 1928 ist der
pràpotente Kursivdruck zwar noch immer vorhanden (hier nun auf S. 70),
doch ein schüchternes "vgl. indes S. 326" ist in Klammern angefügt.
Und was finden wir dort?}}

Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik
làßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich
ohne Heranziehung nicht-pràdikativer Prozesse - das überabzàhlbar
Unendliche nicht erfassen *



Eine wirklich feines, einfaches, klares Eingestàndnis: Der Großteil der
Mathematik ist Schimàrenmathematik - oder wie Du zu sagen pflegst
"Matheologie" auf der Basis nicht-pràdikativer Verrenkungen, wie es Poincaré
schon 1909 in Göttingen kritisierte (1910 veröff.).

{{es ist also nicht /wirklich zu bilden/}},

Jedenfalls nicht korrekt, was die Mehrheit der Zunft aber anders beschlossen
hat. Ein neutraler und zugleich treffender Name wàre vielleicht "impràdikative
Mathematik".

Der Begriff IMPRÄDIKATIV/ IMPRÄDIKATIVITÄT ist übrigens ausführlich und
kritisch erklàrt in Bd. 2, H-O: Mittelstraß, Jürgen (1980-1996, Hrsg.).
Enzyklopàdie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 4 Bde. Die ersten beiden
Bànde erschienen bei BI, Mannheim. Die letzten beiden Bànde bei Metzler,
Stuttgart.

*
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin, 2.
Aufl. 1923 und 3. Aufl. 1928]

Gruß, WM



Rudolf Sponsel, Erlangen

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