Das Kalenderblatt 100613

12/06/2010 - 11:37 von WM | Report spam
The concept of a real number used in constructive mathematics. In the
wider sense it is a real number constructible with respect to some
collection of constructive methods. The term "computable real
number" has approximately the same meaning. The latter is used in
those situations when the aim is not to construct ab initio a non-
traditional continuum, but where it is simply a question of classical
real numbers that are computable in some sense or other by means of
algorithms.
[B.A. Kushner: "Constructive real number", Springer, Encyclopaedia of
Mathematics]
http://eom.springer.de/C/c025400.htm

In parallel with the success of the intuitionists there appeared in
proof theory (created by D. Hilbert with the aim of justifying set-
theoretic mathematics) a number of original ideals that served as a
starting point for constructive trends differing from intuitionism. A
significant number of papers on this topic (and here a fairly broad
spectrum of interpretations of terms like "constructive" ,
"effective" , etc., by various researchers can be found) have depended
on the success achieved in the study of the mathematical concept of
algorithm (again, under the influence of the ideas of Hilbert).
[B.A. Kushner: "Constructive mathematics", Springer, Encyclopaedia of
Mathematics]
http://eom.springer.de/c/c025340.htm

{{Die Literatur zu diesem komplexen Problem ist gewaltig. Doch können
wir aus Obigem wohl schließen, dass ein mathematisches Objekt
konstruierbar ist, wenn ein Algorithmus zur Verfügung steht, mit dem
jeder Bestandteil des Objektes in einer Weise erzeugt werden kann, so
dass das Wissen darüber kommunizierbar ist.}}

Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik
làßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich
ohne Heranziehung nicht-pràdikativer Prozesse - das überabzàhlbar
Unendliche nicht erfassen.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin
(1928) 326]

Es gibt demnach das Problem, dass zwar alle natürlichen Zahlen
konstruiertbar sind, nicht aber alle reellen Zahlen (weil nur
abzàhlbar viele kommunizierbare Bezeichnungen, aber überabzàhlbar
viele reelle Zahlen existieren). Konstruierbar ist zwar ein reelles
Intervall, nicht aber alle seine einzelnen Punkte.

Damit stellt sich sogleich ein schönes neues Paradoxon zum Binàren
Baum ein - sicher zur Freude der Freunde des kontraintuitiven Denkens:
Der Binàre Baum ist konstruierbar, denn er besteht aus abzàhlbar
vielen Knoten und Kanten.
Der Binàre Baum ist nicht konstruierbar, denn er besteht aus
überabzàhlbar vielen Pfaden.

(Ich danke Ulrich Diez, der die Überlegungen zur Konstruierbarkeit mit
seiner Frage "What does 'exist' mean in which context?" anregte.
http://groups.google.com/group/sci....aa4f7f575#
Wer den Binàren Baum noch nicht kennt, findet ihn z. B. im KB 100612.)

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
12/06/2010 - 12:03 | Warnen spam
WM wrote:


{{Die Literatur zu diesem komplexen Problem ist gewaltig.



Jaja. Die Literatur zu komplexen Problemen ist meistens gewaltig.

Doch können
wir aus Obigem wohl schließen, dass ein mathematisches Objekt
konstruierbar ist, wenn ein Algorithmus zur Verfügung steht, mit dem
jeder Bestandteil des Objektes in einer Weise erzeugt werden kann, so
dass das Wissen darüber kommunizierbar ist.}}



Das ist natürlich Blödsinn. Daß "das Wissen" "kommunizierbar" ist, ist kein
mathematisches Kriterium (speziell für Brouwer wàre es geradezu der Gipfel
der Absurditàt gewesen, einen mathematischen Begriff auf "kommunizierbares
Wissen" zu gründen).

Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik
làßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich
ohne Heranziehung nicht-pràdikativer Prozesse - das überabzàhlbar
Unendliche nicht erfassen.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin
(1928) 326]

Es gibt demnach das Problem, dass zwar alle natürlichen Zahlen
konstruiertbar sind, nicht aber alle reellen Zahlen (weil nur
abzàhlbar viele kommunizierbare Bezeichnungen, aber überabzàhlbar
viele reelle Zahlen existieren). Konstruierbar ist zwar ein reelles
Intervall, nicht aber alle seine einzelnen Punkte.

Damit stellt sich sogleich ein schönes neues Paradoxon zum Binàren
Baum ein - sicher zur Freude der Freunde des kontraintuitiven Denkens:
Der Binàre Baum ist konstruierbar, denn er besteht aus abzàhlbar
vielen Knoten und Kanten.
Der Binàre Baum ist nicht konstruierbar, denn er besteht aus
überabzàhlbar vielen Pfaden.


(Ich danke Ulrich Diez,



Da bin ich aber froh, daß mir das nicht passieren kann.

der die Überlegungen zur Konstruierbarkeit mit
seiner Frage "What does 'exist' mean in which context?" anregte.



http://groups.google.com/group/sci....aa4f7f575#
Wer den Binàren Baum noch nicht kennt, findet ihn z. B. im KB 100612.)

Gruß, WM



Man könnte das ja fast für einen Erkenntnisfortschritt halten, gegenüber
früher, wo mit den natürlichen Zahlen auch gleich alle ihre
Teilmengen "konstruiert" waren. Aber eben nur fast, denn das mit dem "neuen
Paradoxon" ist natürlich idiotischer Krampf.

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