Das Kalenderblatt 100618

17/06/2010 - 09:09 von WM | Report spam
Das Diagonalverfahren, wie es oben verwendet wurde, làßt
sich‚ übrigens — wenigstens theoretisch — auch zur numerischen Bildung
transzendenter Zahlen benutzen. Verstehen wir nàmlich [...] unter C_0
die [...] Menge aller algebraischen Zahlen, von denen jede (außer der
etwa fortzulassenden Null) als unendlicher Dezimalbruch dargestellt
sei, und bedeutet Phi irgendeine Abzàhlung dieser Menge [...], so ist
jede nach dem Diagonalverfahren konstruierte Zahl D [...] eine reelle
und nicht algebraische, also transzendente Zahl. Die praktische
Durchführung dieses theoretisch einfachen Verfahrens zur Konstruktion
transzendenter Zahlen würde allerdings, sobald man über die ersten
Dezimalen von D hinauszugehen wünschte, an dem Zeitaufwand scheitern,
der erforderlich ist, um eine Abzàhlung aller algebraischen Zahlen
auch nur einigermaßen weit wirklich herzustellen. Indes ist ja die
Bestimmung von nur endlichvielen Dezimalen der Zahl D offenbar
überhaupt bedeutungslos, da immer erst die (unendlichvielen) spàteren
Ziffern darüber entscheiden, ob die Zahl algebraisch oder transzendent
ist. {{Genau! Erst die nach jeder geprüften Stelle n noch folgenden
unendlich vielen Ziffern entscheiden darüber, doch kann niemand diese
Entscheidung erfahren, weil jeder nur bis zu einer Stelle n kommt, an
der noch nichts entschieden ist. Denn es ist ja an allen Stellen n
noch nichts entschieden, weil auf jede noch unendlich viele folgen.}}
Von Wert kann also nur ein allgemeines Gesetz sein {{und deren gibt es
nur abzàhlbar viele}}, das alle Dezimalen von D einheitlich bestimmt;
ein solches Gesetz aber steckt gerade in dem angeführten
Konstruktionsverfahren für D, sobald die Abzàhlung Phi fest gewàhlt
ist.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer,
Berlin (1928) p. 55]

Cantor's Diagonalverfahren hat mit zwei Widersprüchen zu kàmpfen.
Entweder zeigt es mit unausweichlicher Schàrfe und Pràzision, dass die
abzàhlbare Menge der identifizierbaren, kennbaren, kommunizierbaren,
konstruierbaren, definierbaren, berechenbaren und was-auch-immer-baren
Zahlen überabzàhlbar ist. Oder es konstruiert eine unkonstruierbare
Zahl. (Anstelle von "konstruierbar" kann selbstverstàndnlich auch ein
anderes der eben verwendeten Adjektive oder ein von cleveren
Mengenlehrern zwecks Widerspruchsverdunklung noch zu erfindender
Begriff eingesetzt werden.)

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
17/06/2010 - 09:46 | Warnen spam
Am 17.06.10 09:09, schrieb WM:
Cantor's Diagonalverfahren hat mit zwei Widersprüchen zu kàmpfen.
Entweder zeigt es mit unausweichlicher Schàrfe und Pràzision, dass die
abzàhlbare Menge der identifizierbaren, kennbaren, kommunizierbaren,
konstruierbaren, definierbaren, berechenbaren und was-auch-immer-baren
Zahlen überabzàhlbar ist. Oder es konstruiert eine unkonstruierbare
Zahl. (Anstelle von "konstruierbar" kann selbstverstàndnlich auch ein
anderes der eben verwendeten Adjektive oder ein von cleveren
Mengenlehrern zwecks Widerspruchsverdunklung noch zu erfindender
Begriff eingesetzt werden.)



Im Klartext: Du weißt eigentlich auf einer Ebene, warum das von Dir
angeführte kein Problem ist und keinen Widerspruch liefert. Aber weil
es Dir nicht passt, nennst Du es Verdunkelung. Und so bewegst Du Dich
seit Jahren irgendwo zwischen Dummheit und intellektueller Unaufrichtigkeit.

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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