Das Kalenderblatt 100627

26/06/2010 - 08:58 von WM | Report spam
Wir können hiernach die Elemente einer beliebigen wohlgeordneten Menge
M sàmtlich durch "Indizes“ bezeichnen, also in der Form m_alpha
schreiben, wobei der Index alpha nicht nur wie sonst in der Mathematik
die natürlichen Zahlen, sondern alle endlichen und unendlichen
Ordnungszahlen bis zur Ordnungszahl von M ausschließlich durchlàuft.
Man hat zu diesem Zweck als Index jedes Elements von M die
Ordnungszahl zu wàhlen, die ihm bei der soeben hergestellten Abbildung
zugeordnet wurde. Damit ist eine Art "Normaldarstellung“ jeder
wohlgeordneten Menge:
{m_0, m_1, m_2 ‚ . . . m_omega ‚ m_(omega+1), . . . m_(omega*2),
m_(omega*2+1) . . .}
ermöglicht, die sich für mancherlei Zwecke als nützlich und
anschaulich erweist.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin
(1928) p. 188f]

Der vornehmste Zweck dieser Darstellung liegt wohl in der
Immunisierung des kritischen Lesers gegen die vor seinen Augen
tanzenden Dreiergruppen von Pünktchen. Was wàre die Mengenlehre ohne
sie?

1) Jede wohlgeordnete Menge besitzt "eine Art 'Normaldarstellung'" mit
indizierten Elementen.
2) Da es nur abzàhlbar viele Indizes gibt, können nur abzàhlbare
Mengen normaldargestellt werden.
3) Es gibt überabzàhlbare Mengen.
4) Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

Wenn jemand das ganz unvorbereitet liest, so könnte er stutzig werden.

Indessen scheint keiner seiner zahlreichen Rezensenten
http://www.google.de/#hl=de&sou...2df604f69d
und seiner noch zahlreicheren Leser Fraenkel auf diesen Punkt
aufmerksam gemacht zu haben. Im Gegenteil!
G.A. Pfeiffer: "No errors in definitions or proofs have been noted,
and the typograhy is excellent, as in previous volumes of the Springer
series."
http://projecteuclid.org/DPubS/Repo...1183486481
T.C. Benton: "The treatise by Fraenkel on the theory of aggregates is
now one of the finest."
http://projecteuclid.org/DPubS/Repo...1183493760
Daraus kann man getrost eine erhebliche Wahrscheinlichkeit dafür
ableiten, dass auch andere Fehler der Mengenlehre noch der Entdeckung
harren. Doch bedarf es ihrer überhaupt? Matheologen werden sich vom
Unwert des vollendeten Unendlichen nicht überzeugen lassen -
Mathematiker braucht man davon nicht zu überzeugen.

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
26/06/2010 - 11:39 | Warnen spam
Am 26.06.10 08:58, schrieb WM:
Wir können hiernach die Elemente einer beliebigen wohlgeordneten Menge
M sàmtlich durch "Indizes“ bezeichnen, also in der Form m_alpha
schreiben, wobei der Index alpha nicht nur wie sonst in der Mathematik
die natürlichen Zahlen, sondern alle endlichen und unendlichen
Ordnungszahlen bis zur Ordnungszahl von M ausschließlich durchlàuft.
Man hat zu diesem Zweck als Index jedes Elements von M die
Ordnungszahl zu wàhlen, die ihm bei der soeben hergestellten Abbildung
zugeordnet wurde. Damit ist eine Art "Normaldarstellung“ jeder
wohlgeordneten Menge:
{m_0, m_1, m_2 ‚ . . . m_omega ‚ m_(omega+1), . . . m_(omega*2),
m_(omega*2+1) . . .}
ermöglicht, die sich für mancherlei Zwecke als nützlich und
anschaulich erweist.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin
(1928) p. 188f]

Der vornehmste Zweck dieser Darstellung liegt wohl in der
Immunisierung des kritischen Lesers gegen die vor seinen Augen
tanzenden Dreiergruppen von Pünktchen. Was wàre die Mengenlehre ohne
sie?



Quatschkopf! Hier wird lediglich veranschaulicht(!), was es heißt, dass
jede Wohlordnung ordnungsisomorph zu einer Ordinalzahl ist. Und ich bin
mir ziemlich sicher, dass das genau das ist, worauf sich das „hiernach”
im ersten Satz bezieht. Du hàttest das also mit etwas Mühe, etwas
mathematischem Verstàndnis und ohne Paranoia durchaus verstehen können.

Der Rest dessen, was Du schreibst, erübrigt sich.

Gruß

Carsten
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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