Das Kalenderblatt 100718

17/07/2010 - 10:05 von WM | Report spam
Auf das Kalenderblatt vom 100717 sind mehrere Reaktionen erfolgt, auf
die ich, da wohl von allgemeinerem Interesse, hier antworten möchte.

Die folgenden Folgen von Mengenpaaren stehen in Bijektion
miteinander.
(1) <--> (1)
(1, 2) <--> (1, 1/2)
(1, 2, 3) <--> (1, 1/2, 1/3)
(1, 2, 3, 4) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3)
...
Daraus wird (ohne weitere Begründung) geschlossen, dass auch die
Grenzwerte in Bijektion stehen
(1, 2, 3, 4, 5, ...) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ...)

NN: so wird das nicht gemacht. Wenn man das so machen will, dann muss
man an der Stelle natürlich auch eine Begründung angeben. Aber wie
schon gesagt, so macht das außer dir mal
wieder keiner.

Antwort: Die Bijektion der Elemente wie 5 und 2/3 ist nicht von der
Bijektion der Anfangsabschnitte
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3)
verschieden. Im Gegenteil, diese Bijektion wird gerade angestrebt.

Und eine Begründung dafür wird keineswegs angegeben. Es gibt als
"Begründung" für die Existenz des Grenzwertes (1, 2, 3, 4, 5, ...),
das Unendlichkeitsaxiom (Cantor hatte überhaupt noch keine
Begründung). Die einzige Begründung für die Existenz von (1, 1/2, 1/3,
1/4, 2/3, ...) ist die oben dargestellte Bijektion aller
Anfangsabschnitte.

NN: Es wird einfach direkt eine Bijektion zwischen den beiden Mengen
angegeben, und nicht über die endlichen Teilmengen oben gegangen.

Antwort: Das ist falsch. Was sollte wohl eine "direkte Bijektion"
anders bedeuten, als die Bijektion aller endlichen Anfangsabschnitte?

Die folgenden Mengenpaare stehen ebenfalls in Bijektion miteinander.
(1) <--> (2)
(1, 2) <--> (3, 4)
(1, 2, 3) <--> (4, 5, 6)
(1, 2, 3, 4) <--> (5, 6, 7, 8)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (6, 7, 8, 9, 10)
...
Daraus wird aber nicht geschlossen, dass auch die Grenzwerte in
Bijektion stehen.

NN: Richtig. Geht ja auch nicht. Hier sind die Mengen
A1 <--> B1 (f1)
A2 <--> B2 (f2)
...
An <--> Bn (fn)
...
die jeweils über die Abbildungen fn in Bijektion stehen.

Haben die An und Bn Grenzwerte A und B, so können diese in Bijektion
stehen, müssen das aber nicht. Haben aber auch die Funktionen fn
einen Grenzwert f, kann man u. U. /zeigen/ das dieser eine Bijektion
zwischen A und B darstellt. Im ersten Fall geht das, im zweiten Fall
nicht.

Antwort: Im ersten Falle wird gezeigt, dass alle endlichen
Anfangsabschnitte in Bijektion stehen. Das ist Cantors "Beweis" der
Abzàhlbarkeit. Weiter wird nichts gezeigt. Im zweiten Falle wird
dasselbe für die Indexmengen gezeigt. Es würde wohl kein an alle
natürlichen Zahlen Glaubender die Bijektion aller Mengen
(1) <--> (1)
(1, 2) <--> (1, 2)
(1, 2, 3) <--> (1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4) <--> (1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 2, 3, 4, 5)
...
samt Grenzfall |N <--> |N anzweifeln wollen.

Doch durch eine einfache Umbenennung wird aus dem stetigen Übergang
zum Grenzfall eine erschütternder, krachender Kladderadatsch. Um das
zu akzeptieren, muss man an die reale Existenz des Unendlichen und
seiner Tràger glauben. Aber dann wird es nur noch schlimmer. Die
"realen" Tràger bleiben ja im obigen Widerspruch dieselben. Es sind
nur die aufgeklebten Etiketten, die ausgetauscht werden. Für den
konsequenten Platonisten müsste das als ein unendlicher
Etikettenschwindel erscheinen!

Schließlich sei noch der mehr metamathematische Irrtum ausgeràumt, ich
hàtte bisher (und würde vermutlich auch in Zunkunft) nichts, aber auch
gar nichts, gegen die Matheologen ausrichten können.

Ich selbst kann aus meiner Erfahrung sagen, dass ich vor 10 Jahren
sehr großen Respekt, ja geradezu Ehrfurcht vor den Frontleuten der
Mathematik hatte und ihre Lehren ohne den Schimmer eines Zweifels als
die Wahrheit schlechthin akzeptiert habe. Vielleicht war das eine
etwas naive Haltung, aber sie wird wohl von der großen Mehrheit der
"working mathematicians" und erst recht von der breiten Masse geteilt.
Inzwischen habe ich viele Stimmen gesammelt (solche von weithin
ausstrahlenden Leitfiguren und solche von unbekannten Menschen, die
einfach nur geradlinig denken, und zwar von überraschend vielen), die
eine wesentlich distanziertere Haltung nahelegen. Deshalb hat sich bei
mir und bei zahlreichen Lesern des Kalenderblattes eine aufgeklàrtere
Einsicht durchgesetzt: Es gibt eine kleine Gruppe von Mathematikern,
die sich mit solchen Themen wie den Voraussetzungen und Folgen der
Wohlordbarkeit des Kontinuums beschàftigen oder Zugang zu
unzugànglichen Zahlen suchen. Sie gehören in dieselbe Kategorie wie
Astrologen, Alchemisten oder Systemtipper. Ihre leider noch staatlich
subventionierte Tàtigkeit hat nichts mit Mathematik, Wissenschaft,
Bildung oder gar nützlicher Anwendung von Wissen zu tun - heute nicht
und auch nicht in 10000 Jahren! Diese Erkenntnis gewonnen zu haben und
weiter vermitteln zu können, nenne ich einen Erfolg.

Gruß, WM
 

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#1 Torn Rumero DeBrak
19/07/2010 - 09:28 | Warnen spam
WM wrote:
Auf das Kalenderblatt vom 100717 sind mehrere Reaktionen erfolgt, auf
die ich, da wohl von allgemeinerem Interesse, hier antworten möchte.

Die folgenden Folgen von Mengenpaaren stehen in Bijektion
miteinander.
(1) <--> (1)
(1, 2) <--> (1, 1/2)
(1, 2, 3) <--> (1, 1/2, 1/3)
(1, 2, 3, 4) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3)
...



Was ist ...? Gib einmal das Bildungsgesetz an.

Daraus wird (ohne weitere Begründung) geschlossen, dass auch die
Grenzwerte in Bijektion stehen
(1, 2, 3, 4, 5, ...) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ...)

NN: so wird das nicht gemacht. Wenn man das so machen will, dann muss
man an der Stelle natürlich auch eine Begründung angeben. Aber wie
schon gesagt, so macht das außer dir mal
wieder keiner.

Antwort: Die Bijektion der Elemente wie 5 und 2/3 ist nicht von der
Bijektion der Anfangsabschnitte
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3)
verschieden. Im Gegenteil, diese Bijektion wird gerade angestrebt.

Und eine Begründung dafür wird keineswegs angegeben. Es gibt als
"Begründung" für die Existenz des Grenzwertes (1, 2, 3, 4, 5, ...),



Was ist hier ...?

das Unendlichkeitsaxiom (Cantor hatte überhaupt noch keine
Begründung). Die einzige Begründung für die Existenz von (1, 1/2, 1/3,
1/4, 2/3, ...)



Dito.

ist die oben dargestellte Bijektion aller
Anfangsabschnitte.

NN: Es wird einfach direkt eine Bijektion zwischen den beiden Mengen
angegeben, und nicht über die endlichen Teilmengen oben gegangen.

Antwort: Das ist falsch. Was sollte wohl eine "direkte Bijektion"
anders bedeuten, als die Bijektion aller endlichen Anfangsabschnitte?

Die folgenden Mengenpaare stehen ebenfalls in Bijektion miteinander.
(1) <--> (2)
(1, 2) <--> (3, 4)
(1, 2, 3) <--> (4, 5, 6)
(1, 2, 3, 4) <--> (5, 6, 7, 8)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (6, 7, 8, 9, 10)
...



Dito

Daraus wird aber nicht geschlossen, dass auch die Grenzwerte in
Bijektion stehen.

NN: Richtig. Geht ja auch nicht. Hier sind die Mengen
A1 <--> B1 (f1)
A2 <--> B2 (f2)
...
An <--> Bn (fn)
...
die jeweils über die Abbildungen fn in Bijektion stehen.

Haben die An und Bn Grenzwerte A und B, so können diese in Bijektion
stehen, müssen das aber nicht. Haben aber auch die Funktionen fn
einen Grenzwert f, kann man u. U. /zeigen/ das dieser eine Bijektion
zwischen A und B darstellt. Im ersten Fall geht das, im zweiten Fall
nicht.

Antwort: Im ersten Falle wird gezeigt, dass alle endlichen
Anfangsabschnitte in Bijektion stehen. Das ist Cantors "Beweis" der
Abzàhlbarkeit. Weiter wird nichts gezeigt. Im zweiten Falle wird
dasselbe für die Indexmengen gezeigt. Es würde wohl kein an alle
natürlichen Zahlen Glaubender die Bijektion aller Mengen
(1) <--> (1)
(1, 2) <--> (1, 2)
(1, 2, 3) <--> (1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4) <--> (1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5) <--> (1, 2, 3, 4, 5)
...



Dito.

samt Grenzfall |N <--> |N anzweifeln wollen.





Diese ... Geschwafel ist nicht Mathematik.

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