Das Kalenderblatt 100722

21/07/2010 - 08:14 von WM | Report spam
Ist P(.) ein Pràdikat so dass für fast alle n die Aussage P(n) zu T
gehört (oder in T"gilt"), so gehört P(Omega) zur neuen Theorie
T<Omega>. Wir schreiben kurz: Wenn (fan) P(n), so gilt P(Omega). Das
Kürzel (fan) soll ausfürhlich heissen "für fast alle natürlichen
Zahlen n gilt ... in T".
Sind a, b Zahlfolgen und haben wir (fan) a(n) = b(n), so gilt a(Omega)
= b(Omega), und für das Gleichheitszeichen in der neuen Theorie gelten
die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Auf diese Weise erhalten
wir die Zahlen der neuen Theorie, die wir kürzer mit den
entsprechenden griechischen Buchstanben bezeichnen wollen. Wir
schreiben also alpha für die durch a(Omega) definierte Zahl. Ist (fan)
a(n) = n, so haben wir a(Omega) = Omega, das Zeichen Omega steht also
für die durch die Folge der natürlichen Zahlen n selbst erzeugte Zahl;
eine weitere Ausnahme von der Bezeichnungsregel wird omega = 1/Omega
sein, ebenfalls in Anlehnug an einbe von Euer gern benutzte
Bezeichnung für eine unendlich kleine Zahl [...]. Ist eine Folge fast
konstant, (fan) c(n) = c, so gilt c(Omega) = c oder gamma = c.; die
alten Zahlen sind in den neuen Bereich eingebettet.
Wir haben soeben schon die Division und den Begriff "unendlich klein"
benutzt. Operationen und Relationen übertragen sich nach T in
naheliegender Weise, zum Beispiel:
Wenn (fan) a(n) > b(n), so gilt alpha > beta.
Wenn (fan) a(n) + b(n) = c(n), so gilt alpha + beta = gamma.
Gilt für ein alpha jede der unendlich vielen Aussagen alpha > n_0 (|
alpha| < 1/n_0) für jede feste natürliche Zahl n_0, so heisst alpha
unendlich gross (unendlich klein), in

Detlef Laufgwitz: "Eine Wiederaufnahme der Ideen und Methoden von
Leibniz und Euler" in M. Jenny (Hrsg.): "Leonhard Euler - Beitràge zu
Leben und Werk", Birkhàuser, Basel (1983) p. 186f.
http://books.google.de/books?id=vi7...=1&ved BgQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

Um Nichtstandard-Analysis zu betreiben, wird also eine Gesetzmàßigkeit
aus (fast) allen endlichen Fàllen auf den unendlichen Fall
extrapoliert. Für die Folgen
(n) mit n = {1, 2, 3, ..., n}
und
(a_n) mit a_n = {n+1, n+2, n+3, ..., n+n}
und
(b_n) mit b_n = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ..., p/q}
gilt für fast alle n_0:
|{1, 2, 3, ..., n}| > n_0
|{n+1, n+2, n+3, ..., n+n}| > n_0
|{1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ..., p/q}| > n_0

Im Grenzfalle haben wir eine unendliche Menge, außer für die mittlere
Folge, denn die ist im Grenzfalle ja weg, es sei denn, man schreibt
(x_1, x_2, ..., x_n) und làsst sich kein "n+" für ein "x_" vormachen.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Jürgen R.
21/07/2010 - 13:12 | Warnen spam
WM wrote:
Ist P(.) ein Pràdikat so dass für fast alle n die Aussage P(n) zu T
gehört (oder in T"gilt"), so gehört P(Omega) zur neuen Theorie
T<Omega>. Wir schreiben kurz: Wenn (fan) P(n), so gilt P(Omega). Das
Kürzel (fan) soll ausfürhlich heissen "für fast alle natürlichen
Zahlen n gilt ... in T".
Sind a, b Zahlfolgen und haben wir (fan) a(n) = b(n), so gilt a(Omega)
= b(Omega), und für das Gleichheitszeichen in der neuen Theorie gelten
die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Auf diese Weise erhalten
wir die Zahlen der neuen Theorie, die wir kürzer mit den
entsprechenden griechischen Buchstanben bezeichnen wollen. Wir
schreiben also alpha für die durch a(Omega) definierte Zahl. Ist (fan)
a(n) = n, so haben wir a(Omega) = Omega, das Zeichen Omega steht also
für die durch die Folge der natürlichen Zahlen n selbst erzeugte Zahl;
eine weitere Ausnahme von der Bezeichnungsregel wird omega = 1/Omega
sein, ebenfalls in Anlehnug an einbe von Euer gern benutzte
Bezeichnung für eine unendlich kleine Zahl [...]. Ist eine Folge fast
konstant, (fan) c(n) = c, so gilt c(Omega) = c oder gamma = c.; die
alten Zahlen sind in den neuen Bereich eingebettet.
Wir haben soeben schon die Division und den Begriff "unendlich klein"
benutzt. Operationen und Relationen übertragen sich nach T in
naheliegender Weise, zum Beispiel:
Wenn (fan) a(n) > b(n), so gilt alpha > beta.
Wenn (fan) a(n) + b(n) = c(n), so gilt alpha + beta = gamma.
Gilt für ein alpha jede der unendlich vielen Aussagen alpha > n_0 (|
alpha| < 1/n_0) für jede feste natürliche Zahl n_0, so heisst alpha
unendlich gross (unendlich klein), in

Detlef Laufgwitz: "Eine Wiederaufnahme der Ideen und Methoden von
Leibniz und Euler" in M. Jenny (Hrsg.): "Leonhard Euler - Beitràge zu
Leben und Werk", Birkhàuser, Basel (1983) p. 186f.
http://books.google.de/books?id=vi7...=1&ved BgQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

Um Nichtstandard-Analysis zu betreiben, wird also eine Gesetzmàßigkeit
aus (fast) allen endlichen Fàllen auf den unendlichen Fall
extrapoliert. Für die Folgen
(n) mit n = {1, 2, 3, ..., n}
und
(a_n) mit a_n = {n+1, n+2, n+3, ..., n+n}
und
(b_n) mit b_n = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ..., p/q}
gilt für fast alle n_0:
|{1, 2, 3, ..., n}| > n_0
|{n+1, n+2, n+3, ..., n+n}| > n_0
|{1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, ..., p/q}| > n_0

Im Grenzfalle haben wir eine unendliche Menge, außer für die mittlere
Folge,



Schon wieder derselbe Fehler:

lim |{n+1, n+2, ... , n+n}| = \infnty
aber lim {n+1, n+2, , n+n} = {}

Darin liegt kein Widerspruch.

Wenn du je so weit gekommen wàrst, die Lebesgue'sche Theorie zu
verstehen, dann hàttest du x-beliebige ganz analoge Beispiele
zur Verfügung. Es gilt z.B. nicht i.A.

lim {\integral f_n} = \integral {lim f_n},

auch nicht bei stetigen Funktionen f_n. Wenn dir das nicht
neu wàre, würdest du den obigen Fehler kaum stàndig wiederholen.

Nochmal: Es geht hier nicht um Semantik, nicht um Deutungen und
Meinungen. Es geht um einen einfachen groben Denkfehler
deinerseits.

denn die ist im Grenzfalle ja weg, es sei denn, man schreibt
(x_1, x_2, ..., x_n) und làsst sich kein "n+" für ein "x_" vormachen.

Gruß, WM

Ähnliche fragen