Das Kalenderblatt 100727

26/07/2010 - 09:03 von WM | Report spam
Zahlenfolgen können konvergieren, weil die Abstànde zwischen zwei
Zahlen wie a_n und a beliebig klein sein können. Mengenfolgen besitzen
diesen Vorteil nicht. Eine Mengenfolge (M_n) kann nur dann gegen den
endlichen Grenzwert M konvergieren, wenn es ein n_0 gibt, so dass für
alle n > n_0 gilt M_n = M. Solche Folgen sind eigentlich langweilig.
Bei Zahlenfolgen, hat man sich noch ein Kriterium für uneigentliche
Konvergenz ausgedacht: Eine Zahlenfolge (a_n) konvergiert gegen den
uneigentlichen Grenzwert oo, wenn die Glieder (1/a_n) existieren und
gegen den Grenzwert 0 strebt.
Damit gelingt es, auch für die eigentlich langweiligen Mengenfolgen
Interesse zu wecken.
Mengenfolgen (M_n) konvergieren, wenn sie einen Limes Supremum und
einen Limes Infinmum besitzen und beide übereinstimmen.
Ein Supremum V(k = n ... oo) M_k der Folge enthàlt alle Elemente, die
in der Vereinigung V unendlich vieler Folgenglieder, beginnend mit
M_n, auftreten, also wirklich vorhanden sind, nicht irgendwie
"approximiert" werden.
LimSup ist der Durchschnitt /\ aller Suprema, also das kleinste
Supremum:
LimSup (M_n) = /\(n = 1 ... oo)[V(k = n ... oo) M_k]
Ein Infimum /\(k = n ... oo) M_k der Folge enthàlt alle Elemente, die
im Durchschnitt aller Folgenglieder ab M_n auftreten, also wirklich
vorhanden sind, nicht irgendwie "approximiert" werden.
LimInf ist die Vereinigung aller Infima, also das größte Infimum:
LimInf (M_n) = V(n = 1 ... oo)[/\(k = n ... oo) M_k]

Das Besondere am Mengenlimes ist, dass er angenommen wird, denn Mengen
sind quantisiert. Eine beliebig genaue Annàhrung ist anders nicht
möglich.
Der Grenzwert lim M_n für M_n = {1, 2, 3, ..., n} ist |N, eine
unendliche Menge, die ES laut Unendlichkeitsaxiom "gibt".
Schreiben wir der Übersichtlichkeit halber die Glieder der Mengenfolge
in Form einer Liste untereinander, so ergibt sich, obwohl keine letzte
natürliche Zahl existiert, doch eine letzte Zeile

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}

denn der Grenzwert dieser Mengenfolge ist nur dann |N = {1, 2,
3, ...}, wenn in einem Folgenglied alle natürlichen Zahlen enthalten
sind.
Schreiben wir dagegen die Folge der dezimalen Approximationen der Zahl
1/9 in Listengestalt

0,1
0,11
0,111
...

so ist die Zahl 1/9 nicht in der Liste enthalten, denn sie besitzt
keine aktual unendliche Darstellung. 0,111... ist lediglich eine
Abkürzung für das in KB100726 dargestellte Konvergenzverhalten. Die
Aussage, in 0,111... seien "alle Einsen" enthalten, ist im Sinne des
Konvergenzkriteriums sinnlos; dann wàre eps = 0.
Überlagert man nun die beiden oben dargestellten Listen, indem die
Indizes der Einsen angeschrieben, also ihre Positionen mit natürlichen
Zahlen markiert werden,

1_1
1_1, 1_2,
1_1, 1_2, 1_3
...
x_1, x_2, x_3, ...

so erkennt man den Widerspruch zwischen der Mathematik, in der keine
letzte Zeile mit allen Positionen existieren kann und der Mengenlehre,
in der alle natürlichen Zahlen als Indizes vorkommen müssen, was erst
in einer letzten Zeile geschehen kann (denn nach allen Positionen
kommt keine mehr und vorher sind noch nicht alle Positionen da).

Für die hier mit x markierten Positionen sind keine mathematischen
Zeichen verfügbar; das Einsetzen von Einsen wàre ein Fehler. Deswegen
ist die Annahme der aktualen Unendlichkeit falsch; das
Unendlichkeitsaxiom führt zu widersprüchlicher Mathematik.

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
26/07/2010 - 13:29 | Warnen spam
WM schrieb:
Zahlenfolgen können konvergieren, weil die Abstànde zwischen zwei
Zahlen wie a_n und a beliebig klein sein können. Mengenfolgen besitzen
diesen Vorteil nicht. Eine Mengenfolge (M_n) kann nur dann gegen den
endlichen Grenzwert M konvergieren, wenn es ein n_0 gibt, so dass für
alle n > n_0 gilt M_n = M.



Wogegen konvergiert die Mengenfolge M_n = {n}?

Limes superior (limsup): Menge der Zahlen, die in unendlich vielen M_n
vorkommen. Da jede Zahl k nur in einem einzigen Folgenglied, nàmlich in M_k
vorkommt, ist der Limes superior (LS) dieser Mengenfolge leer: LS = {}.

Limes inferior (liminf): Menge der Zahlen, die in fast allen M_n vorkommen.
Aus dem gleichen Grund wie oben ist der Limes inferior (LI) dieser Mengenfolge
ebenfalls leer: LI = {}.

Beide Limeswerte stimmen überein (LS=LI), d.h. die Mengenfolge konvergiert
und der Grenzwert ist gleich diesem gemeinsamen Limes, d.h. gleich {}.

Die angegebene Mengenfolge konvergiert also gegen M = {}, obwohl dieser
Grenzwert nicht Element der Folge ist.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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