Das Kalenderblatt 100729

28/07/2010 - 09:32 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 100729

Mengenfolgen (M_n) konvergieren, wenn sie einen Limes Supremum und
einen Limes Infinmum besitzen und beide übereinstimmen.
LimSup (M_n) = /\(n = 1 ... oo)[V(k = n ... oo) M_k]
LimInf (M_n) = V(n = 1 ... oo)[/\(k = n ... oo) M_k]

Das Besondere am Mengenlimes ist also, dass er angenommen wird, denn
Mengen sind quantisiert. Eine beliebig genaue Annàhrung ist anders
nicht möglich. Satt Supremum und Infimum sollte man eigentlich besser
von Maximum und Minimum sprechen, denn die kleinste obere Schranke und
die größte untere Schranke sind entweder in der Folge enthalten oder
sie sind nicht kleinste obere Schranke und größte untere Schranke.
Eine gegen |N konvergierende Mengenfolge vereinigt deshalb alle
natürlichen Zahlen ohne Ausnahme und làsst für eine konkurrierende
Mengenfolge aus natürlichen Zahlen nichts mehr übrig (s. KB100728).
Das Problem verschàrft sich bei paralleler Betrachtung von unendlich
vielen Mengenfolgen:
1.) {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... --> |N
2.) {2}, {3, 4}, {4, 5, 6}, ... --> { }
3.) {3}, {5, 6}, {7, 8, 9}, ... --> { }
...
n.) {n}, {2n-1, 2n} {3n-2, 3n-1, 3n}, ... --> { }
...
w.) {w}, {2w-1, 2w} {3w-2, 3w-1, 3w}, ... --> { }
w+1.) {w+1}, {2w+1, 2w+2} {3w+1, 3w+2, 3w+3}, ... --> { }
(w vertritt hier die kleinste transfinite Ordnungszahl.)
Alle Folgen außer der ersten konvergieren gegen die leere Menge, d. h.
jede besitzt als Maximum, das gleichzeitig Minimum ist, die leere
Menge.
Die Vereinigung der Grenzwerte aus allen Folgen ist das Maximum der
ersten Folge
|N U { } U { } U { } ... = |N
obwohl jede Vereinigung der n-ten Glieder aller Folgen nicht nur alle
natürlichen Zahlen, sondern auch w und w+1 enthàlt. Hier als Beispiel
die Vereinigung der ersten Glieder:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., w+1}
der zweiten Glieder:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., 2w+2}
und der dritten Glieder:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., 3w+3}
Die Vereinigung der n-ten Glieder aller Folgen, besitzt den Grenzwert
{1, 2, 3, ..., ww+w}.
Die Vereinigung der Folgen ist die Folge der Vereinigungen, außer im
Grenzfalle, denn die Vereinigung der Folgen strebt nicht gegen die
Vereinigung der Grenzwerte.

Man kann natürlich trotzdem die Auffassung vertreten, unendliche
Mengen und ihre Limites besàßen einen Sinn.

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
28/07/2010 - 09:51 | Warnen spam
WM schrieb:
Das Kalenderblatt 100729

Mengenfolgen (M_n) konvergieren, wenn sie einen Limes Supremum und


~~~~~~~~~~~~~~
Limes superior
einen Limes Infinmum besitzen und beide übereinstimmen.


~~~~~~~~~~~~~~
Limes inferior
LimSup (M_n) = /\(n = 1 ... oo)[V(k = n ... oo) M_k]
LimInf (M_n) = V(n = 1 ... oo)[/\(k = n ... oo) M_k]

Das Besondere am Mengenlimes ist also, dass er angenommen wird ...



Betrachte M_n = {n}. Du kannst leicht nachrechnen, dass dann gilt:

limsup{n->oo} M_n = liminf{n->oo} M_n = {}.

Somit wird der Mengenlimes nicht angenommen. Die Schreibweise "Limes
Supremum" ist ungebràuchlich und sollte nicht weitervermittelt werden.
Die Aussage "Das Besondere am Mengenlimes ist also, dass er angenommen
wird" ist falsch und sollte daher ebenfalls nicht weitervermittelt werden.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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