Das Kalenderblatt 100805

04/08/2010 - 13:36 von WM | Report spam
Meine MathOverflow-Episode (5)

Da der Moderator, der meine Antwort gelöscht hatte, nach eigenem
Bekunden kein Interesse und augenscheinlich auch keine Kenntnisse im
Bereich der Darstellung reeller Zahlen mit Hilfe des Binàren Baums
hatte, beschloss ich, zur Unterrichtung weiter Teile der MathOverflow-
Community selbst einen Beitrag zum Thema Binàrer Baum zu initiieren.
Nach den Regeln von MathOverflow musste das in Form einer Frage
geschehen. Sie lautete wie folgt:

Has this paradox been known in literature? Who was the first to state
it? What is its solution?

The complete infinite binary tree contains all real numbers between 0
and 1 as infinite paths i. e. infinite sequences { 0, 1 }^N of bits.

0,
/ \
0 1
/ \ / \
0 1 0 1
/
0 ...

The set { a_k | k in N } of nodes (bits) a_k of the tree is
countable.

a0.
/ \
a1 a2
/ \ / \
a3 a4 a5 a6
/
a7 ...

The binary tree can be constructed because it consists of all its
distinct nodes which form a countable set.
The binary tree can be considered the limit of the set of its initial
segments B_k:
____________________
B_0 a0.
____________________
B_1 a0.
/
a1
____________________
B_2
a0.
/ \
a1 a2
____________________
B_3
a0.
/ \
a1 a2
/
a3
____________________
B_4
a0.
/ \
a1 a2
/ \
a3 a4
____________________
...
____________________
B_k
a0.
/ \
a1 a2
/ \ / \
...
a_k
___________________
...

The structure of the Binary Tree excludes that there are any two
initial segments, B_k and B_(k+1), such that B_(k+1) contains two
complete infinite paths both of which are not contained in B_k.
Nevertheless the limit of all B_k is the complete binary tree
including all (uncountably many) infinite paths. Contradiction. There
cannot exist more than countably many infinite paths.

What is the solution? Do the infinite paths consist of more than their
nodes? (In particular as no initial segment contains any infinite path
at all.) Is the set of nodes more than countable? Is the infinite
binary tree not the limit of the sequence of its initial segments?
Regards, WM
asked Jun 29 at 8:41

Diese Frage liegt mir wirklich sehr am Herzen: Welcher Schritt der
obigen Überlegung ist nach mathematischen Maßstàben nicht
gerechtfertigt - und warum? Gibt es mathematische Gründe dafür, dass
die Resultate des aktual unendlichen Binàren Baums falscher sind als
die der aktual unendlichen Cantorschen Liste? Warum wird in diesem
Falle den Ziffern aller endlichen Anfangsabschnitte eine Aussagekraft
zugebilligt, in jenem aber nicht? Gibt es also mathematische Argumente
außer dem einen immer wiederkehrenden, dass das Resultat meines
Beweises dem des Cantorschen widerspricht?

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Franz Fritsche
04/08/2010 - 13:52 | Warnen spam
Am Wed, 4 Aug 2010 04:36:34 -0700 (PDT) schrieb WM:

Has this paradox been known in literature?



Da es sich hier um kein Paradoxon (geschweige denn eine Antinomie) handelt
(sondern lediglich um eine Anhàufung von Missverstàndnissen, irrigen
Annahmen und inkorrekten "Schlüssen" ihrerseits) kann "this paradox" nur
schwerlich in die einschlàgige Literatur Eingang gefunden haben. Außer
vielleicht in d i e s e s Werk hier:

http://www.amazon.com/Mathematical-...0883855070

oder eventuell auch dieses:

http://www.amazon.com/Trisectors-Sp...0883855143

MfG,
FF

Ähnliche fragen