Das Kalenderblatt 100806

05/08/2010 - 10:28 von WM | Report spam
Meine MathOverflow-Episode (6)

Meine Frage zum Binàren Baum führte auf eine ausführliche Diskussion,
aus der ich zunàchst die direkten Kommentare zur Frage zitiere:

Thomas Bloom: The 'limit' of countably many things need not be
countable (as this example shows), just as the 'limit' of finitely
many things need be finite (for example, the natural numbers).

WM: Here we have the case of the limit of "finitely many things". The
node indices are just the natural numbers. Therefore the set of nodes
like the set of initial segments has cardinality aleph_0.

Thomas Bloom: Sorry - I meant that each branch of the tree represents
countably many real numbers, and you are taking the limit of all
branches (of which there are uncountably many). {{Unter "branch"
versteht Thomas Bloom offensichtlich "path" (Pfad). Nun kann man es
durchaus so sehen, dass jeder Pfad P unendlich viele rationale
Approximationen der durch P repràsentierten reellen Zahl enthàlt. Das
gerade ist das Besondere an der Struktur des Binàren Baums, dass man
sie auf verschiedene Weisen interpretieren und dies ausnutzen kann, um
damit einen logischen Widerspruch der aktualen Unendlichkeit zu
zeigen. Denn es ist ebenso statthaft, all die hier angedachten
Approximationen des Pfades P als von P verschiedenen Pfaden zu
verstehen, nàmlich als die mit Tails aus Nullen vervollstàndigten
Anfangsabschnitten von P. Beispiel: Die Pfade 0,000..., 0,1000...,
0,11000... usw. sind rationale Approximationen des Pfades P = 0,111...
Diese Pfade gehören aber alle zur Gesamtabzàhlung.}}

WM: I take the limit of the sequence (countable set) of all initial
segments B_k. No segment B_k differs from its precurser segment
B_(k-1) by more than one node. Hence B_(k-1) and B_k cannot differ by
more than one infinite path. The paradox, as it appears to me, is that
there are aleph_0 steps, no step adds more than one infinite path to
the tree, but in the limit there are uncountably many infinite paths.
{{Der Stringenz dieser letzten Aussage kann wohl niemand sich
entziehen. Auch Thomas Bloom schien das nicht zu wollen.}}

Inzwischen hatte Yemon Choi herausgefunden, dass ich einen Teil meiner
Frage in einer Publikation schon selbst beantwortet hatte: I hope it
is not untoward of me to post this link:
arxiv.org/find/math/1/au:+Mueckenheim_W/0/1/0/all/…

WM: Of course I do know that. I do not know whether there are older
hints to this paradox.

Pietro Majer vermochte dem Binàren Baum immerhin einen gewissen Reiz
abzugewinnen, wenn auch unter matheologischem Vorbehalt: Why do you
think that this should be any different than claiming that "reals are
countable because they are limits of rational numbers"? It's nice
however, though no longer a paradox, at least relatively to the
mathematical community (etymologically: paradox = contrary to the
common opinion or beliefs) ;-)

WM: Because we can apply the pigeon hole principle to the sequence
(B_k). This means that there is at least one B_k that contains more
than 1 infinite path (i.e. at least 2 infinite paths) that are not
contained in B_(k-1). But as only one node is added, this is
impossible, by construction of the binary tree.

Die ganze hier geschilderte, recht angenehme Diskussion spielte sich
innerhalb von wenigen Stunden ab und enthielt keinen ernsthaften
Ansatz zur Widerlegung meines Argumentes. Alles, was an
Gegenargumenten zusammenkam stützte sich auf Analogieschlüsse, ohne
auf mein Argument in irgendeiner Weise einzugehen.

Doch dann hatten die Wàchter der Wahrheit die Fàhrte gewittert.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Franz Fritsche
05/08/2010 - 12:09 | Warnen spam
Am Thu, 5 Aug 2010 01:28:32 -0700 (PDT) schrieb WM:

Doch dann hatten die Wàchter der Wahrheit die Fàhrte gewittert.



Geht's hier eigentlich noch um Mathematik? :-o

Geht es IHNEN überhaupt um Mathematik? :-o

Ähnliche fragen