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Das Kalenderblatt 100916

15/09/2010 - 13:15 von WM | Report spam
Meine MathOverflow-Episode (47)

Jean-Philippe Burelle hatte das aus vielen Quellen bekannte
Urnenproblem zur Sprache gebracht: A problem of an infinite number of
balls and an urn. [...] You have a countably infinite supply of
numbered balls at your disposal. They are all labeled with the natural
numbers {1,2,3,...}. At 11h30, you put in the urn the balls labeled 1
to 10, and then right after remove the ball labeled 1. Then, at 11h45,
you put into the jug balls 11 to 20, and remove the ball number 2,
etc. In general at 1(2n) hours before midnight, you put in balls (n
-1)10+1 to 10n, and remove the ball labeled n. [...] The question is:
how many balls are left in the urn at (or after) midnight? (that is,
after a countably infinite number of steps). {{Er wandelte es noch ein
wenig ab, doch das möge der interessierte Leser ebenso wie die mehr
oder weniger von Formalismusglauben oder Verstand gepràgten Antworten
im Original nachlesen:
http://mathoverflow.net/questions/7...1160#31160
}}

Eine Antwort von Daniel Asimov begann so: The reason this problem has
the generally accepted answer of 0 balls in the jug {{im Originaltext
war von jug statt urn die Rede gewesen, was Gerald Edgar zu der
Bemerkung veranlasst hatt: Write about balls and jugs ... someone may
think you intend some sexual double-entendre... Isn't that
mathematical item you put the balls in usually known as an urn?}} at
midnight -- among mathematicians -- is that for any given ball, one
may follow its itinerary: at some point it goes into the jug, and then
at some point no earlier it leaves the jug, never to be moved again.
{{Tatsache ist, dass für jeden ausgehenden Ball, zehn Bàlle eingetzt
werden. Mathematiker könnten 10 - 1 = 9 rechnen und beweisen, dass die
unendliche Summe 9 + 9 + 9 + ..., ob definiert oder nicht, unmöglich
kleiner als 10^10 und erst recht nicht kleiner als 1^1 sein kann.
Matheologen haben diese einfache Art der Argumentation leider
verlernt. Das wàre tolerierbar, würden sie ihre einseitige Denkungsart
nicht als "die Mathematik" bezeichnen.}}

Diese Antwort kommentierte Victor Protsak: I am a mathematician and I
don't accept "0 balls" as "the" answer (because of implicit continuity
assumptions). There is ample evidence at this page that I am not alone
in that. {{Wie sollte auch im Unendlichen eine Diskontinuitàt
zustandekommen, wo es doch nichts weiter als die unabgebrochene
Fortsetzung des nàmlichen Prozesses ist?}}

Andrea Ferretti: I'm just rephrasing what other people have said, but
more or less you are telling us this. You have function f, defined on |
N which is the number of balls after n steps. One can actually compute
f(n) = 9n. The question is: if we extend this function as a "function"
from ordinals to say |N U oo what is the value of f(omega)? You are
arguing that is should be oo and indeed it is if you require some sort
of continuity of f at omega. But you have just shown a (discontinous)
extension with f(omega) = 0. There is nothing paradoxical about it.
{{Doch, natürlich ist das ein Paradoxon, denn ebenso wie die
Mathematik keine Wissenschaft ist, die unabhàngig von der Realitàt
existiert, ist die Kardinalzahl keine "function", die unabhàngig von
der Menge existieren und und einen davon unabhàngigen Grenzwert
besitzen kann. Die Kardinalzahl einer Menge ist nicht von dieser
unabhàngig, sondern gibt genau deren Elementzahl an. Das Verleugnen
dieser Tatsache zeigt, dass die Matheologie genau so ein Irrweg der
Evolution ist wie die Schwanzfedern des Argusfasans. Eine Menge, die
stets ein Element enthàlt - auch im Grenzfall - besitzt die
Kardinalzahl 1 - auch im Grenzfall. Denn was sollte die
Grenzkardinalzahl betreffen, wenn nicht die Grenzmenge? Um dies zu
verkennen muss eine geradezu menschenrechtswidrige geistige
Verstümmelung stattgefunden haben, eine intellektuelle Beschneidung in
den Initiationssriten der Matheologen, die dem Außenstehenden als
ebenso schmerzhaft erscheint wie die Beschneidung von Màdchen in den
afrikanischen Tiefkulturen - aber vermutlich wird sie von den
Betroffenen nicht als so schmerzhaft empfunden.}}

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
15/09/2010 - 14:32 | Warnen spam
Am 15.09.2010 13:15, schrieb WM:
Eine Menge, die
stets ein Element enthàlt - auch im Grenzfall - besitzt die
Kardinalzahl 1 - auch im Grenzfall.



Nun, im Grenzfall ist kein Element enthalten. Welches sollte es
denn bitte sein? 27? oder 270027? oder 270027^272727?

Hinweis: die Zahl 1 ist es garantiert nicht.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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