Das Kalenderblatt 100920

19/09/2010 - 13:12 von WM | Report spam
In 1960 the physicist Eugene Wigner published an influential article
on "The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural
sciences". [E. P. Wigner: "The unreasonable effectiveness of
mathematics in the natural sciences", Communications on pure and
applied mathematics, 13 (1960)] I counter the claim stated in its
title with an interpretation of science in which many of the uses of
mathematics are shown to be quite reasonable, even rational, although
maybe somewhat limited in content and indeed not free from
ineffectiveness. The alternative view emphasizes two factors that
Wigner largely ignores: the effectiveness of the natural sciences in
mathematics, in that
much mathematics has been motivated by interpretations in the
sciences, and still is ; and the central place of theories in both
mathematics and the sciences, especially theory-building, in which
analogies drawn from other theories play an important role. {{Alle
richtige Mathematik hat sich an den Naturwissenschaften orientiert.
Mathematik ist angewandte Physik. Cantor hatte das auch für die
transfinite Mengenlehre beabsichtigt, die er nach eigenen Angaben vor
allem zu diesem Zweck entworfen hatte (vgl. z. B. KB090616, KB091213
oder KB100403), jedoch war seine Naturvorstellung (im Gegensatz zu der
vieler seiner Zeitgenossen) dermaßen falsch, dass daraus nur falsche
Mathematik entspringen konnte.}}

[Ivor Grattan-Guinness: "Solving Wigner's Mystery: The Reasonable
(Though Perhaps Limited) Effectiveness of Mathematics in the Natural
Sciences" Springer Science+Business Media, Inc., Volume 30, Number 3
(2008)

Gruß, WM
 

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#1 Vogel
19/09/2010 - 16:34 | Warnen spam
WM wrote in
news::


Cantor hatte das auch für die transfinite Mengenlehre beabsichtigt,
die er nach eigenen Angaben vor allem zu diesem Zweck entworfen hatte
(vgl. z. B. KB090616, KB091213 oder KB100403), jedoch war seine
Naturvorstellung (im Gegensatz zu der vieler seiner Zeitgenossen)
dermaßen falsch, dass daraus nur falsche Mathematik entspringen
konnte.}}



Eine transfinite Kardinalzahl einer unendlichen Menge ist keine
Ordinalzahl, ja noch nicht einmal eine Zahl. Als Ordinalzahl ist es eine
Fata Morgana. Eine transfinite Kardinalzahl hat kein Maß. Sie ist
echivalent zu unendlich "oo".



Der Beweis mit dem Diagonalelement ist m.E. nicht aussagekràftig, da
hierbei auf ein Zahlensystem zugegriffen wird.



Man kann aber einen einfachen algebraischen Beweis anführen(original von
mir) ohne ein Zahlensystem zu benutzen, indem man die Abbildung untersucht:



:R->N



Es sei:
ni Zahl aus N
nj Zahl aus N
dann gilt:
ni_nj Zahl aus N



(0,nj < 0)



Es ist dann:



(N:ni_nj <=> R:ni,nj)



Für jede reelle Zahl (ni,nj) làsst sich eine natürliche Zahl (ni_nj)
finden und zu einer unendlichen Liste zusammenfügen.
Allerdings entsprechen nicht alle Elemente der Liste einer Bijektion
zwischen R und N, weil in N Zahlen auftauchen die zum zàhlen nicht taugen,
da sie transfinit sind.



All jene natürlichen Zahlen ni_nj die unendlich lang sind (das sind
unendlich viele) sind alle auch unendlich gross, sie stellen daher in der
Menge N den gleichen transfiniten Punkt dar, hingegen in der Menge R
verschiedene Punkte. Die Abbildung (:N->R) ist daher nicht mehr bijektiv
und die Mengen haben also nicht die gleiche Màchtigkeit. Die diesen
transfiniten natürlichen Zahlen zugeordneten reellen Zahlen sind also
überzàhlig.



Das Problem ist also die fehlende Bijektion zwischen R und N.



Es gibt trotz lokaler Abzàhlbarkeit keine globale Abzàhlbarkeit der rellen
Zahlen. Man nennt R daher überabzàhlbar, was aber nicht bedeutet dass R,
zahlenmàssig, mehr Elemente als N hàtte. N enthàlt unendlich viele
unendlich grosse Zahlen, die daher zum zàhlen nicht taugen.



Kannst du dem folgen?

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