Das Kalenderblatt 100924

23/09/2010 - 15:45 von WM | Report spam
Die Glieder der Folge
a_1 = 0,9
a_2 = 0,99
a_3 = 0,999
...
mit dem allgemeinen Glied a_n = 1 - 10^(-n) können, hinsichtlich der
Neunen in der Dezimaldarstellung, als eine Unàrdarstellung für die
natürlichen Zahlen dienen.

Da die Folge nicht endet, gibt es zu jeder Dezimaldarstellung eine mit
mehr Neunen. Das ist potentieller Unendlichkeit:
∀n ∃m : a_m > a_n

Der Grenzwert 1 = 0,999... wird so allerdings nur im Sinne von Cauchy
approximiert, niemals aktual erreicht. Cantor und seine Nachfolger
behaupten dagegen, dass es für jede reelle Zahl eine genaue
Dezimaldarstellung gàbe (und für die Zahl 1 sogar zwei), so dass nicht
hinzugefügt und nichts fortgelassen werden darf. Die Darstellung
0,999... erfordert aleph_0 Neunen, denn für jede kleinere Anzahl von
Neunen ist der Wert des Folgengliedes a_n =/= 1. Wenn also der
Grenzwert mit Hilfe einer Neunerfolge genau darstellbar sein soll, so
muss gelten
∃m ∀n : a_m > a_n

Demnach unterscheidet sich die Zahl 1 = 0,999... allein durch Ziffern
von allen Gliedern der Folge (a_n). Ziffern an endlich indizierten
Stellen können diese Aufgabe nicht erfüllen, denn alle sind bereits in
Folgengliedern a_n verwendet, ohne dass die Zahl 1 erreicht würde.
Cantors Behauptung erzwingt demnach mindestens eine nicht natürlich
indizierte, eine "omegate" Ziffer. Sie heißt so, weil ihr Index m omega ist.

Gruß, WM
 

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#1 Karlheinz
23/09/2010 - 16:50 | Warnen spam
WM schrieb:

Demnach unterscheidet sich die Zahl 1 = 0,999... allein durch Ziffern
von allen Gliedern der Folge (a_n). Ziffern an endlich indizierten
Stellen können diese Aufgabe nicht erfüllen, denn alle sind bereits in
Folgengliedern a_n verwendet, ohne dass die Zahl 1 erreicht würde.
Cantors Behauptung erzwingt demnach mindestens eine nicht natürlich
indizierte, eine "omegate" Ziffer. Sie heißt so, weil ihr Index m > omega ist.



Weshalb "mindestens eine omegate Ziffer"?

Wenn es 2 oder mehr sind, ist die Zahl dann größer als 1?

Nein, nein, die Mathematik des transfinit-ur-unendlichen ist
total exakt - man ist da selbstbewusst und emanzipiert, da muss
alles genau passen, Stichwort Bijektion (wenn es auch mal eine
echte Teilmenge sein muss, die zu ihrer größeren Obermenge in
Bijektion steht, da wird dann auch einfach mal alles per Dekret
untergebracht, um überhaupt "unendlich" zu "definieren").

Solch ein Hottentotten-und-Gossen-Spruch wie mindestens noch eine
Ziffer um genau 1 zu treffen, das geht nicht in dieser Welt, in
der alles genau passt.

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