Das Kalenderblatt 101003

02/10/2010 - 09:50 von WM | Report spam
Zunàchst mache ich auf die Allgemeinheit, Schàrfe und Bestimmtheit
meiner Zahlen¬definitionen aufmerksam; sie sind gleichlautend,
gleichviel ob sie auf endliche oder unendliche Mengen bezogen werden.
Jede transfinite Zahl der zweiten Zahlenklasse z. B. hat ihrer
Definition nach dieselbe Bestimmtheit, dieselbe Vollendung in sich wie
jede endliche Zahl. Der Begriff omega beispielsweise enthàlt nichts
Schwankendes, nichts Unbestimmtes, nichts Verànderliches, nichts
Potenzielles, er ist kein apeiron sondern ein aphorismenon, und das
gleiche gilt von allen andern transfiniten Zahlen. Er bildet ebenso
wie jede endliche Zahl, z. B. 7 oder 3, einen Gegensatz zu den
unbestimmten Zeichen x, a, b der Buchstabenrechnung, mit welchen Sie
unzutreffenderweise die transfiniten Zahlen in Ihrem Schreiben
vergleichen. [Georg Cantor an Kurd Laßwitz, 15. Feb. 1884]

Wir merken uns: omega enthàlt nichts Potentielles.

Damit gilt das von Weierstraß 1878 in seiner Vorlesung "Einführung in
die Theorie der Analytischen Funktionen" eingeführte Kriterium: "b >
a, wenn es eine Zahl c gibt, die wohl von b, nicht aber auch von a
Bestandteil ist." Denn das ist die Definition von "mehr" oder
"größer". Die Dezimaldarstellung 0,999... der Zahl 1 enthàlt genau
dann nichts Potentielles, sondern aktual mehr Neunen als alle
endlichen Neunerfolgen in den Zahlendarstellungen für 1 - 10^-n, wenn
es eine Ziffer 9 gibt, die zu 0,999... = 1 gehört aber nicht zu allen
endlichen Neunerfolgen. Gibt es eine solche "omegate" 9 nicht, so muss
man matheologisch glauben: Es gibt in 1 = 0,999... eine 9 mehr, als
jede endliche Folge besitzt, aber es gibt in 1 = 0,999... keine 9 mehr
als alle endlichen Folgen besitzen. Dazu muss man Bedenken einfachster
Logik überwinden. Manchem will das nicht gelingen. Und was sich noch
desaströser für die Idee der Überabzàhlbarkeit auswirkt: ist 0,999...
nicht nach dem Weierstaßschen Kriterium substantiell (d. h. durch eine
Ziffer) von allen endlichen Neunerfolgen unterscheidbar, so ist auch
keine Irrationalzahl substantiell von allen ihren rationalen
Approximationen verschieden (zwar von jeder, aber nicht von allen).
Und damit gibt es nichts, was die unendliche Menge der rationalen
Approximationen zu einer überabzàhlbaren Menge aufpolstern könnte.

Gruß, WM
 

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#1 Karlheinz
02/10/2010 - 10:24 | Warnen spam
WM seichte:

Es gibt in 1 = 0,999... eine 9 mehr, als jede endliche Folge besitzt



Nein, Kretin, das ist Unsinn, denn "es gibt" beliebig viele mehr
davon, so wie in Hilberts Hotel.

Du aufdringlicher Kriechfasler seichst immer nur Stuss, bei dir
"gibt es" noch nicht mal Zufallstreffer.

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