Das Kalenderblatt 101029

28/10/2010 - 08:26 von WM | Report spam
§1. Introduction. I dedicate this essay to the two-dozen-odd people
whose refutations of Cantor’s diagonal argument (I mean the one
proving that the set of real numbers and the set of natural numbers
have different cardinalities) have come to me either as referee or as
editor in the last twenty years or so. [...] Cantor’s argument is
short and lucid. It has been around now for over a hundred years.
Probably every professional mathematician alive today has studied it
and found no fallacy in it.

{{Paul Bernays ist zwar tot, aber die von ihm verbreitete Erkenntnis
ist doch ein Allgemeinplatz, so dass sie jeder heute lebende
Mathematiker kennen kann (und kennen sollte): "if we pursue the
thought that each real number is defined by an arithmetical law" und
das ist unerlàsslich - ohne platonischen Glauben, dessen Eingrenzung
ebenso zu Widersprüchen führt, wie der unumschrànkte platonische
Glaube, "the idea of the totality of real numbers is no longer
indispensable" (KB101019). Mit dem Platonismus fàllt auch Cantors
Diagonalargument. Wer dies weiß und zudem unglàubig ist, wie z. B.
Solomon Feferman: "I am convinced that the platonism which underlies
Cantorian set theory is utterly unsatisfactory as a philosophy of our
subject [...] platonism is the medieval metaphysics of mathematics;
surely we can do better" (KB090614) kann doch den Absolutheitsanspruch
des Kollegen Hodges nicht mehr teilen. Das sollte dieser eigentlich
wissen. Und wenn er es weiß, so sollte er es sagen.}}

There is a point of culture here. Several of the authors said that
they had trained as philosophers, and I suspect that in fact most of
them had. In English-speaking philosophy (and much European philosophy
too) you are taught not to take anything on trust, particularly if it
seems obvious and undeniable. You are also taught to criticise
anything said by earlier philosophers. Mathematics is not like that;
one has to accept some facts as given and not up for argument.

{{Philosophen werden ja oft für schlechte Mathematiker gehalten. Ich
denke da nur an Kant, der, glaubt man Cantor, "was so bad a
mathematician." [Cantor an Russell, 19. 9. 1911] oder an Schopenhauer,
dessen Beweis des Satzes von Pythagoras manchen Ansprüchen nicht
genügt
http://www.schule-bw.de/unterricht/...ise/schopi
oder an Hegel, der "bedauert, daß die Physik ihre Gesetze aus der
Mathematik bezieht anstatt sie mittels Vernunft zu konstruieren."}}

Nobody should be surprised when philosophers who move into another
area take their habits with them. (In the days when I taught
philosophy

[Wilfrid Hodges: "An editor recalls some hopeless papers", The
Bulletin of Symbolic Logic 4,1 (1998)]

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Albrecht
28/10/2010 - 11:15 | Warnen spam
On 28 Okt., 08:26, WM wrote:
§1. Introduction. I dedicate this essay to the two-dozen-odd people
whose refutations of Cantor’s diagonal argument (I mean the one
proving that the set of real numbers and the set of natural numbers
have different cardinalities) have come to me either as referee or as
editor in the last twenty years or so. [...] Cantor’s argument is
short and lucid. It has been around now for over a hundred years.
Probably every professional mathematician alive today has studied it
and found no fallacy in it.

{{Paul Bernays ist zwar tot, aber die von ihm verbreitete Erkenntnis
ist doch ein Allgemeinplatz, so dass sie jeder heute lebende
Mathematiker kennen kann (und kennen sollte): "if we pursue the
thought that each real number is defined by an arithmetical law" und
das ist unerlàsslich - ohne platonischen Glauben, dessen Eingrenzung
ebenso zu Widersprüchen führt, wie der unumschrànkte platonische
Glaube, "the idea of the totality of real numbers is no longer
indispensable"  (KB101019). Mit dem Platonismus fàllt auch Cantors
Diagonalargument. Wer dies weiß und zudem unglàubig ist, wie z. B.
Solomon Feferman: "I am convinced that the platonism which underlies
Cantorian set theory is utterly unsatisfactory as a philosophy of our
subject [...] platonism is the medieval metaphysics of mathematics;
surely we can do better" (KB090614) kann doch den Absolutheitsanspruch
des Kollegen Hodges nicht mehr teilen. Das sollte dieser eigentlich
wissen. Und wenn er es weiß, so sollte er es sagen.}}



Mit der Aussage, Cantors Diagonalargument sei "short and lucid"
demonstriert Herr Hodges schon seine mangelnde Kompetenz.
Ein Argument, dass sein eigenes Axiom braucht um ableitbar zu sein
(was meistens in den Darstellungen unterschlagen wird), ein Argument,
das kritische Bereiche der Metamathematik berührt, wie etwa die Frage
nach dem mathematischen Inhalt des Begriffs "es gibt", Unterschlagung
des Hase-und-Igel-Problems (jede Diagonalzahl wird der Liste
zugeschlagen, ad infinitum, die Liste ist natürlich nie fertig, wie
auch?), die Konsequenzen, die sich aus einer Akzeptanz des
Diagonalargumentes notwendig ergeben (unbenennbare, unangebbare,
unkonstruierbare Zahlen, Auswahlaxiom, unkonstruktive Beweise,
"tertium non datur" im Unendlichen...), die Fragwürdigkeit des Axiom
of Infinity, etc. pp.
Wer ein Argument, dass einen solchen Rattenschwanz von Fragen und
Ungereimtheiten hinter sich herzieht, als klar bezeichnet, ist
offensichtlich selbst nicht klar in seinem Denken.

Gruß
Albrecht




There is a point of culture here. Several of the authors said that
they had trained as philosophers, and I suspect that in fact most of
them had. In English-speaking philosophy (and much European philosophy
too) you are taught not to take anything on trust, particularly if it
seems obvious and undeniable. You are also taught to criticise
anything said by earlier philosophers. Mathematics is not like that;
one has to accept some facts as given and not up for argument.

{{Philosophen werden ja oft für schlechte Mathematiker gehalten. Ich
denke da nur an Kant, der, glaubt man Cantor, "was so bad a
mathematician." [Cantor an Russell, 19. 9. 1911] oder an Schopenhauer,
dessen Beweis des Satzes von Pythagoras manchen Ansprüchen nicht
genügthttp://www.schule-bw.de/unterrich...l/sek1/...
oder an Hegel, der "bedauert, daß die Physik ihre Gesetze aus der
Mathematik bezieht anstatt sie mittels Vernunft zu konstruieren."}}

Nobody should be surprised when philosophers who move into another
area take their habits with them. (In the days when I taught
philosophy

[Wilfrid Hodges: "An editor recalls some hopeless papers", The
Bulletin of Symbolic Logic 4,1 (1998)]

Gruß, WM

Ähnliche fragen