Das Kalenderblatt 101111

10/11/2010 - 10:27 von WM | Report spam
Die Umordnung der linear geordneten Menge der rationalen Zahlen aus
dem Intervall (0, 1) kann automatisiert werden. Dazu wird die gesamte
(z. B. nach Cantor) geordnete Menge in Paare abgeteilt und jedes Paar
so umgeordnet, dass der kleinere Partner den kleineren Index erhàlt.
Das Ergebnis sei

| q'_1 , q'_2 | q'_3 , q'_4 | q'_5 , q'_6 | ...

Im zweiten Schritt werden Paare der folgenden Form gebildet

q'_1 | q'_2 , q'_3 | q'_4 , q'_5 | q'_6 , q'_7 | ...

und so umgeordnet, dass der kleinere Partner den kleineren Index
erhàlt. Das Ergebnis sei

q'_1 | q''_2 , q''_3 | q''_4 , q''_5 | q''_6 , q''_7 | ...

Im dritten Schritt werden wieder Paare aus allen Zahlen gebildet

| q'_1 , q''_2 | q''_3 , q''_4 | q''_5 , q''_6 | ...

und so umgeordnet, dass der kleinere Partner den kleineren Index
erhàlt.

Nachdem der Automat aleph_0 Mal aleph_0 Paare umgeordnet hat, ist die
endgültige, beendete, vollstàndige Anordnung der rationalen Zahlen
nach Größe fertig. Oder sollte ausgerechnet diese Menge nicht als
fertige Menge existieren können?

Ein Einwand gegen das dargestellte Verfahren ist, dass es niemals zu
einem Abschluss gelangt und jede nach Größe geordnete Teilmenge
unvollstàndig ist.

Doch dieser Einwand ist nicht stichhaltig, da /jede/ Transposition
vorbestimmt ist. Die Menge der Transpositionen liegt wie ein
aufgeschlagenes Buch vor dem platonischen Auge - etwa so wie die
Nummerierung der rationalen Zahlen aus dem Intervall (0, 1) oder die
Prüfung der Cantorschen Tabelle (nicht) aller reellen Zahlen. Denn es
kommt in der transfiniten Mengenlehre, wie schon Cantor erkannt hat,
nur darauf an: "Klar ist zunàchst, daß auf diese Weise allen
Intervallen der Reihe (3) bestimmte Punkte der Reihe (5) zugeordnet
werden; denn [...] es erfàhrt daher der aus unsrer Regel resultierende
Zuordnungsprozeß keinen Stillstand." [E. Zermelo (Hrsg.): "Georg
Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts", Springer (1932), p. 239] Das hàtte Cantor direkt zur obigen
Methode gesagt haben können.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
10/11/2010 - 11:58 | Warnen spam
WM wrote:

Die Menge der Transpositionen liegt wie ein aufgeschlagenes Buch vor dem
platonischen Auge



Die Menge {(x y) : x, y e R, x < y} der Transpositionen von R existiert
selbverstàndlich.
Nur, wie machst Du aus allen diesen Elementen ein Produkt?

Gruß
Michael

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