Das Kalenderblatt 101120

19/11/2010 - 10:29 von WM | Report spam
In der niederen und höheren Analysis ist vielfach die Rede von
verànderlichen Größen, die unendlichgroß oder unendlichklein
"werden“ (nicht "sind“), und von den bei solchen Prozessen
auftretenden Eigenschaften anderer Größen, die als von jenen abhàngig
definiert sind. Hiermit ist folgendes gemeint: jene Größen können über
jeden noch so großen endlichen Betrag hinauswachsen oder sich
unbegrenzt der Null annàhern, ohne daß dieser Zu- oder Abnahme
bestimmte Grenzen gesetzt sind. In jedem Stadium des Prozesses, wie
immer und wie weit er auch durchgeführt werde, haben die Größen jedoch
bestimmte endliche bzw. von Null verschiedene Werte. Es handelt sich
also bei diesem Gebrauch des Begriffs „Unendlich“ nur, wie sich Gauss
ausdrückte, um eine faon de parler, die eine umstàndlichere
Ausdrucksweise entbehrlich macht ; z. B. würde der Satz: "wird die
positive Zahl n unendlichgroß, so wird der Quotient 1/n
unendlichklein“ ausführlicher und schàrfer so zu fassen sein: "der
Wert des Quotienten 1/n (n positiv) kann dadurch der Null beliebig
nahegebracht werden, daß man die Zahl n auf hinreichend große Werte
beschrànkt“. Man spricht in diesem Sinne vom uneigentlichen oder
potentiellen Unendlich. In scharfem und deutlichem Gegensatz hierzu
ist die im vorigen Absatz betrachtete Menge (wie auch das durch sie
bestimmte Ordnungsschema) ein fertiges, abgeschlossenes, in sich
festes Unendliches, insofern als sie unendlichviele genau definierte
Elemente (die natürlichen Zahlen) umfaßt, keines mehr und keines
weniger (#). Hier liegt also ein eigentliches oder aktuales Unendlich
vor, das als reines, in einem einheitlichen Akt zum Bewußtsein
gebrachtes Gedankending nichts Widerspruchsvolles in sich zu bergen
scheint.

(#) Hier und da immer wieder auftretenden, anscheinend unausrottbaren
Mißverstàndnissen gegenüber werde scharf hervorgehoben, daß dieses
"Unendlich“ der Menge aller ganzen Zahlen nichts zu tun hat mit einem
vermeintlichen Unendlichwerden der Elemente, d. h. der ganzen Zahlen,
die vielmehr alle endlich sind. Die Menge der Brüche 1/2, 1/3, 1/4,
1/5 usw. stellt ja im gleichen Sinn wie die oben betrachtete Menge ein
Unendlich dar! {{Dies ist wieder ein Fehlschluss Fraenkels. Aktual
unendlich viele Abstànde der Größe 1 können nicht im Endlichen
Verweilen. Deswegen besteht ein Unterschied zwischen dem Unendlichen
der harmonischen Folge und der Folge der natürlichen Zahlen! Der
Grenzwert 0 der harmonischen Folge gehört zu keiner natürlichen Zahl.
Gàbe es auch unendlich viele. Er gehört zu oo. Euler schrieb deshalb 1/
oo. Spàter nahm man davon Abstand, weil oo keine Zahl ist, und
definierte den Grenzwert, bis Cantor den zweiten Fehlversuch
startete.}}

[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer,
Berlin (1928) p. 7f]
 

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#1 Vogel
20/11/2010 - 05:39 | Warnen spam
WM wrote in news:f2e808c9-5c37-4155-b866-
:

In der niederen und höheren Analysis ist vielfach die Rede von
verànderlichen Größen, die unendlichgroß oder unendlichklein
"werden“ (nicht "sind“), und von den bei solchen Prozessen
auftretenden Eigenschaften anderer Größen, die als von jenen abhàngig
definiert sind. Hiermit ist folgendes gemeint: jene Größen können über
jeden noch so großen endlichen Betrag hinauswachsen oder sich
unbegrenzt der Null annàhern, ohne daß dieser Zu- oder Abnahme
bestimmte Grenzen gesetzt sind. In jedem Stadium des Prozesses, wie
immer und wie weit er auch durchgeführt werde, haben die Größen jedoch
bestimmte endliche bzw. von Null verschiedene Werte. Es handelt sich
also bei diesem Gebrauch des Begriffs „Unendlich“ nur, wie sich Gauss
ausdrückte, um eine faon de parler, die eine umstàndlichere
Ausdrucksweise entbehrlich macht ; z. B. würde der Satz: "wird die
positive Zahl n unendlichgroß, so wird der Quotient 1/n
unendlichklein“ ausführlicher und schàrfer so zu fassen sein: "der
Wert des Quotienten 1/n (n positiv) kann dadurch der Null beliebig
nahegebracht werden, daß man die Zahl n auf hinreichend große Werte
beschrànkt“. Man spricht in diesem Sinne vom uneigentlichen oder
potentiellen Unendlich. In scharfem und deutlichem Gegensatz hierzu
ist die im vorigen Absatz betrachtete Menge (wie auch das durch sie
bestimmte Ordnungsschema) ein fertiges, abgeschlossenes, in sich
festes Unendliches, insofern als sie unendlichviele genau definierte
Elemente (die natürlichen Zahlen) umfaßt, keines mehr und keines
weniger (#). Hier liegt also ein eigentliches oder aktuales Unendlich
vor, das als reines, in einem einheitlichen Akt zum Bewußtsein
gebrachtes Gedankending nichts Widerspruchsvolles in sich zu bergen
scheint.



Nicht neues an der Ostfront.

(#) Hier und da immer wieder auftretenden, anscheinend unausrottbaren
Mißverstàndnissen gegenüber werde scharf hervorgehoben, daß dieses
"Unendlich“ der Menge aller ganzen Zahlen nichts zu tun hat mit einem
vermeintlichen Unendlichwerden der Elemente, d. h. der ganzen Zahlen,
die vielmehr alle endlich sind.



Aber sicher hat das was miteinander zu tun, denn die Anzahl der Elemente
einer Menge ist eine Zahl. Wenn es also keine Zahl gibt die unendlich
gross sein kann, dann kann auch eine Menge nicht unendlich viele Elemente
haben.



Unendlich ist ein Begriff für Unbeschrànktheit. Basta!

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