Das Kalenderblatt 101222

21/12/2010 - 09:45 von WM | Report spam
Krieg der Frösche und der Màuse (19)


Weyl's idealism naturally inclined him to the view that the ultimate
basis of his own subject, mathematics, must be found in the
intuitively given as opposed to the transcendent.

{{Transzendente Zahlen: Ja. Transzendetes Denken: Nein.
In Kants Philosophie wird der Begriff "transzendent" als Ausdruck für
wissenschaftliche Aussagen verwendet die den Bereich möglicher
Erfahrung überschreiten und daher keiner Verifikation fàhig sind.
Kant suchte die Erkenntnis auf den Boden sinnlicher Erfahrung zu
stellen; er erklàrte die Behauptungen der bisherigen Metaphysik (im
Sinne der scholastischen Philosophie) über Gott Freiheit und
Unsterblichkeit für transzendent, die Erfahrung überfliegend.
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Transzendent_(Philosophie).html
In der Matheologie wird der Begriff meistens mit "transfinit"
umschrieben, aber in der Kantschen Bedeutung gebraucht, nàmlich den
Bereich möglicher Erfahrung überschreitend (und die Jünger immer
wieder zu dem mutigen Satz herausfordernd, sie könnten ganz bequem und
ohne Probleme das Unendliche perzipieren (so wie die Hofschranzen ganz
deutlich des nackten Kaisers Kleider sehen.)}}

Nevertheless, he recognized that it would be unreasonable to require
all mathematical knowledge to possess intuitive immediacy. In Das
Kontinuum, for example, he says:

The states of affairs with which mathematics deals are, apart from the
very simplest ones, so complicated that it is practically impossible
to bring them into full givenness in consciousness and in this way to
grasp them completely.

Nevertheless, Weyl felt that this fact, inescapable as it might be,
could not justify extending the bounds of mathematics to embrace
notions, such as the actual infinite, which cannot be given fully in
intuition even in principle {{mit Ausnahme von Geistersehern}}. He
held, rather, that such extensions of mathematics into the
transcendent are warranted only by the fact that mathematics plays an
indispensable role in the physical sciences, in which intuitive
evidence is necessarily transcended. As he says in The Open World:

… if mathematics is taken by itself, one should restrict oneself with
Brouwer to the intuitively cognizable truths … nothing compels us to
go farther. But in the natural sciences we are in contact with a
sphere which is impervious to intuitive evidence; here cognition
necessarily becomes symbolical construction. Hence we need no longer
demand that when mathematics is taken into the process of theoretical
construction in physics it should be possible to set apart the
mathematical element as a special domain in which all judgments are
intuitively certain; from this higher standpoint which makes the whole
of science appear as one unit, I consider Hilbert to be right. (Weyl
1932, 82).

[John L. Bell: "Hermann Weyl", Stanford Encyclopedia of Philosophy
(2009)]
http://plato.stanford.edu/entries/weyl/index.html

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Philo
21/12/2010 - 13:29 | Warnen spam
Mein Gott, WM, können Sie nicht mal irgendwas wenigsten annàhernd im
Zusammenhang darstellen? Und irgendwie habe ich immer das Gefühl, als
ob Sie Weyl oder Frege zu den Kronzeugen ihrer eigenen Ideen machen
wollen. Das sind sie nicht.

Weyl gehört zu den vielen bedeutenden Menschen, denen ihre
theoretischen Einsichten im praktischen Leben im Wege stehen. Weyl war
bekanntlich nicht nur Mathematiker sondern auch dilettierender
Physiker und hier, in der theoretischen Physik, verließ ihn wie viele
seiner Kollegen der Scharfsinn und die kritische Denkweise, die er
gegen Dedekind, Cantor und ihre Parteigànger ins Feld führte.

In der Mathematik wendet er sich (in "Das Kontinuum") gegen die
übliche formalistische Selbstüberredung, die darin besteht, die
eigentlichen mathematischen Erkenntnisquellen zu leugnen und an ihre
Stelle scheinbar vom Himmel gefallene Axiome und Definitionen zu
setzen.

http://www.archive.org/stream/dasko...3/mode/2up

Vorwort:
"In dieser Schrift handelt es sich nicht darum, den 'sicheren Fels',
auf den das Haus der Analysis gegründet ist, im Sinn des Formalismus
mit einem hölzernen Schaugerüst zu umkleiden und nun dem Leser und am
Ende sich selbst weiszumachen: dies sei das eigentliche Fundament.
[...]
Wenngleich diese Schrift vor allem mathematische Ziele verfolgt, so
bin ich doch philosophischen Fragen nicht aus dem Wege gegangen und
habe nicht versucht, sie durch jene rohe und oberflàchliche
Verquickung von Sensualismus und Formalismus aus der Welt zu schaffen,
die [von Frege ... mit erfreulicher Deutlichkeit bekàmpft] unter
Mathematikern noch immer großes Ansehen genießt."

In Kapitel I, § 3 behandelt er das logische Schließen und die
axiomatische Methode.
"Die mathematischen Sachverhalte, von den allereinfachsten abgesehen,
sind so kompliziert, daß es praktisch unmöglich ist, sie sich im
Bewußtsein zu voller Gegebenheit zu bringen und dergestalt in freier
Einsicht zu eigen zu machen."

Damit beschreibt Weyl das Hauptproblem der Mathematik, das darin
besteht, dass wir nicht in der Lage sind, aus uns selbst heraus alle
Konsequenzen unserer geistigen Schöpfungen zu überblicken. Könnten wir
es, dann gàbe es keine Mathematik. Wir sind daher gezwungen, die
verschiedenen Fragen durch eine Reihe elementar einsichtiger Schlüsse
aus gewissen Voraussetzungen ("Axiome") abzuleiten und abzusichern.

"Die Aufzeigung der Tatsache, daß ein Urteil U Folge der Axiome ist,
kann und muß gemàß einer eben gemachten Bemerkung über die
Beschaffenheit der logischen Gesetze durch einen im allgemeinen
vielverzweigten Organismus 'elementarer' Schlüsse geschehen, der dann
noch zum Zwecke der Mitteilung künstlicherweise in eine Glied an Glied
schließende Kette umgewandelt werden muß. So kommt der mathematische
Beweis zustande; alle zu vollziehende Einsicht konzentriert sich in
ihm auf die logischen Schlüsse und ist nicht mehr auf die beurteilten
Sachen und Sachverhalte gerichtet. (Es braucht nicht gesagt zu werden,
daß es beim Auffinden mathematischer Wahrheiten und ihrem
nachschaffenden Verstehen viel 'sachlicher' und weniger 'formal'
zugeht; hier ist von der systematischen Darstellung die Rede.) Es muß
jedoch betont werden, daß die Überzeugung, es ließen sich alle
einschlàgigen, generellen, wahren Urteile über Punkte, Geraden und
Ebenen z. B. aus den geometrischen Axiomen durch logische Schlüsse
herleiten, ein wissenschaftlicher Glaube ist; wir sind außerstande,
wirklich einzusehen, daß es sich so verhàlt, oder dies gar aus den
logischen Gesetzen selber auf logischem Wege zu 'beweisen'."

An anderer Stelle ("Raum, Zeit, Materie") drückt Weyl in sehr schönen
Sàtzen aus, dass axiomatisch betriebene Geometrie die ràumliche
Anschauung nicht ausschöpft und vor allem etwas anderes ist als z. B.
lineare Algebra:
http://www.archive.org/stream/raumz...0/mode/2up

"Ist es nun auf der einen Seite außerordentlich befriedigend, für die
vielerlei Aussagen über den Raum, ràumliche Gebilde und ràumliche
Beziehungen, aus denen die Geometrie besteht, diesen einen gemeinsamen
Erkenntnisgrund angeben zu können, so muß auf der andern Seite betont
werden, daß dadurch aufs deutlichste hervortritt, wie wenig die
Mathematik Anspruch darauf machen kann, das anschauliche Wessen des
Raumes zu erfassen: von dem, was den Raum der Anschauung zu dem macht,
was er ist in seiner ganzen Besonderheit ist und was er nicht teilt
mit 'Zustànden von Rechenmaschinen' und 'Gasgemischen' und
'Lösungssystemen linearer Gleichungen', enthàlt die Geometrie nichts.
Dies 'begreiflich' zu machen oder ev. zu zeigen, warum und in welchem
Sinn es unbegreiflich ist, bleibt der Metaphysik überlassen. Wir
Mathematiker können stolz sein auf die wunderbare Durchsichtigkeit der
Erkenntnis vom Raume, welche wir gewinnen; aber wir müssen uns
zugleich sehr bescheiden, da unsere begrifflichen Theorien nur
imstande sind, das Raumwesen nach einer Seite hin, noch dazu seiner
oberflàchlichsten und formalsten, zu erfassen."

Wie wahr. Doch von der propagierten Bescheidenheit ist in seinem Buch
nichts zu spüren, genau wie bei Hilbert, der einen kurzen, rein
mathematischen Text mit der wichtigtuerischen Überschrift "Die
Grundlagen der Physik" versieht. Man kann es kaum glauben, dass
derselbe Weyl, der dem platten Formalismus, Sensualismus und
Positivismus die Tür weist, der betont, dass die Gegenstànde durchaus
eigene Gebilde sind und mehr als bloße Sinneswahrnehmungen, der die
Geometrie eben nicht zu einem algebraischen Konstrukt herabgewürdigt
wissen will, dass eben dieser Weyl in der Physik in Gestalt der
Relavitàtstheorie all das begeistert begrüßt, was er in der Mathematik
so bekàmpft. Die "oberflàchlichste und formalste Seite des Raumwesens"
führt plötzlich in die tiefsten Tiefen der physikalischen Erkenntnis.
Beachtlich!

Es bleibt dazu nichts anderes übrig als die schroffe Gegenüberstellung
zweier unvereinbarer Welten, einerseits die Welt der Physik,
unanschaulich, unerkennbar, höchstens der mathematischen Analyse
zugànglich, andererseits die Welt der Anschauung, von der "in die
mathematisch konstruierte physikalische Welt nichts eingeht". Die
erhabene Lyrik, in die er, ganz Dialektiker, das alles kleidet, kann
jeder Interessierte selbst nachlesen. Die von seinem Standpunkt aus
naheliegendsten Überlegungen werden gar nicht erst angestellt, die
Bedenken, sofern sie denn auftreten, werden ebenso schnell zerstreut
wie sie aufgekommen sind: Es kann "sehr wohl die Erfahrung darüber
entscheiden, ob der spezielle Euklidische Standpunkt aufrecht zu
erhalten ist oder ob wir zu dem allgemeineren Riemannschen übergehen
müssen."

Diese Verfahrensweise kennt man von anderen Personen. So lebte
Schopenhauer von seinem Erbe und betàtigte sich als Couponschneider,
sang aber das Lied der Arbeit und der Nàchstenliebe und zog in
ruppigster Weise über die Universitàtsphilosophen her, die von statt
für die Philosophie leben würden. Das alles wusste er bestens zu
erklàren. Auch Rousseau brachte diverse Entschuldigungen dafür vor,
dass er seine Kinder ins Findelhaus gab. Es geschah natürlich in gutem
Glauben. Und Heisenbergs Arbeit an der Nazi-Atombombe war eigentlich
Sabotage. So kann eben niemand aus seiner Haut, auch Weyl nicht. Es
war wohl auch für ihn zu verführerisch, in großer Zeit an großen neuen
Ideen mitzuwirken.

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