Das Kalenderblatt 110326

25/03/2011 - 07:44 von WM | Report spam
{{1585 führte Simon Stevin mit der Schrift La Theinde (Das Zehntel)
die Dezimalbrüche ein
http://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin
}} One has to understand here that in fact it was in a sense
fortuitous that his invention led to a much deeper understanding of
numbers for he certainly did not introduce the notation with that in
mind. Only finite decimals were allowed, so with his notation only
certain rationals to be represented exactly. Other rationals could be
represented approximately and Stevin saw the system as a means to
calculate with approximate rational values. His notation was to be
taken up by Clavius and Napier but others resisted using it since they
saw it as a backwards step to adopt a system which could not even
represent 1/3 exactly.
Stevin made a number of other important advances in the study of the
real numbers. He argued strongly in L'Arithmetique (1585) that all
numbers such as square roots, irrational numbers, surds, negative
numbers etc should all be treated as numbers and not distinguished as
being different in nature. He wrote:
Thesis 1: That unity is a number.
Thesis 2: That any given numbers can be square, cubes, fourth powers
etc.
Thesis 3: That any given root is a number.
Thesis 4: That there are no absurd, irrational, irregular,
inexplicable or surd numbers.
It is a very common thing amongst authors of arithmetics to treat
numbers like sqrt8 and similar ones, which they call absurd,
irrational, irregular, inexplicable or surds etc and which we deny to
be the case for number which turns up.
His first thesis was to argue against the Greek idea that 1 is not a
number but a unit and the numbers 2, 3, 4, ... were composed of units.
The other three theses were encouraging people to treat different
types of numbers, which were at that time treated separately, as a
single entity - namely a number.
[J.J. O'Connor and E.F. Robertson: "The real numbers: Pythagoras to
Stevin"]
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk...ers_1.html

Stevin benutze nur endliche Dezimalbrüche. Es ist allerdings
unbekannt, weshalb er schon im Endlichen aufgab. Die drei
grundsàtzlichen Fragen, die sich mit der Erweiterung zu unendlichen
Dezimalbrüchen erheben, wird er sich noch nicht gestellt haben.

1. Frage: In der folgenden Liste

0,0
0,1
0,11
0,111
...

enthàlt jede Zeile mehr Einsen als alle Vorgàngerzeilen. Enthàlt die
(in der Liste als Zeilenzahl nicht vorhandene) Grenzzeile 0,111… mehr
Einsen als alle Zeilen der Liste?

Wenn nein, so ist die (bei Ersetzung von 0 durch 1 entstehende)
Antidiagonalzahl 0,111… in der Liste enthalten. Widerspruch zu Cantors
Grund-Satz. Wenn ja, welche Ziffern sind es?

(Die unendliche Vereinigung von inklusionsmonotonen Mengen ist eine
unendliche Menge. Oben haben wir unendlich viele Zeilen und damit
unendich viel Vereinigungen innerhalb der Liste.)


2. Frage: Kann man den Grenzwert der Folge

3,1
3,14
3,141
3,1415
...

durch Ziffern definieren?

Wenn ja, warum hat es noch niemand getan? (Und warum schlug jeder der
unendlich vielen in obiger Liste dokumentieren Versuche fehl?)

Wenn nein, so ist die in einer Cantor-Liste (für das Intervall [3, 4])
durch Ziffernersetzung eventuell definierte Antidiagonalzahl pi nicht
durch Ziffern definiert. Das ist merkwürdig. In einer
Dezimaldarstellung wird per Definition alles durch Ziffern belegt.
Denn nur „so sieht man ohne weiteres, daß die Gleichung E_0 = E_m für
keinen positiven ganzzahligen Wert von m erfüllt sein kann“ (Cantor).
Und nur so folgt „Aus diesem Satze […] unmittelbar, daß die Gesamtheit
aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform […] bringen làßt, da
wir sonst vor dem Widerspruch stehen würden, daß ein Ding E_0 sowohl
Element von M, wie auch nicht Element von M wàre“ (Cantor). Nun stehen
wir vor dem Widerspruch, dass Ziffern zwar alles sind, was
Dezimaldarstellungen zu bieten haben - aber eben doch nicht so ganz.
Ist das der unvermeidbare Unterschied zwischen Zahlenwahrheit und
Zahlenwirklichkeit?

Die 3. Frage ist nun sehr leicht zu beantworten: Warum kann man die
Antidiagonalzahlen aller Cantorlisten nicht abzàhlen?

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Ivan Panchenko
25/03/2011 - 21:23 | Warnen spam
On 25 Mrz., 07:44, WM wrote:
{{1585 führte Simon Stevin mit der Schrift La Theinde (Das Zehntel)
die Dezimalbrüche einhttp://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin}}



Genauer gesagt sorgte sein Werk für eine bessere Verbreitung.
Dezimalzahlen verdanken wir dem arabischen Mathematiker Abu'l-Hasan al-
Uqlidisi, der sie um 950 benutzte, allerdings anstatt eines Punktes
oder Kommas einen senkrechten Strich verwendete. Stevin bevorzugte
dafür eine besondere Schreibweise, damit sich die Leute an die
Bedeutung von Dezimalstellen gewöhnen: Er notiert die Zahl 184,5429
als "184(0)5(1)4(2)2(3)9(4)". Die eingekreisten Zahlen stehen dabei
für die Exponenten der Zehntelpotenzen.

Thesis 1:   That unity is a number.
Thesis 2:   That any given numbers can be square, cubes, fourth powers
etc.
Thesis 3:   That any given root is a number.
Thesis 4:   That there are no absurd, irrational, irregular,
inexplicable or surd numbers.
It is a very common thing amongst authors of arithmetics to treat
numbers like sqrt8 and similar ones, which they call absurd,
irrational, irregular, inexplicable or surds etc and which we deny to
be the case for number which turns up.
His first thesis was to argue against the Greek idea that 1 is not a
number but a unit and the numbers 2, 3, 4, ... were composed of units.
The other three theses were encouraging people to treat different
types of numbers, which were at that time treated separately, as a
single entity - namely a number.
[J.J. O'Connor and E.F. Robertson: "The real numbers: Pythagoras to
Stevin"]http://www-history.mcs.st-and.ac.uk...ers_1.html

Stevin benutze nur endliche Dezimalbrüche.



Nein. Mit der vierten These meinte er, dass diejenigen Zahlen, die wir
als "irrational" bezeichnen, eigentlich rational (vernünftig) sind. Er
war also umgekehrt für die Zahlen, die wir als "irrational"
bezeichnen, hielte sie aber nicht für irrational, sondern rational.
Wie aber bereits gesagt bedeutet "irrational" nicht "unvernünftig",
sondern "kein Verhàltnis (aus ganzen Zahlen)".

"Simon Stevin làsst dann um 1600 ganz eindeutig irrationale Zahlen zu,
den kontinuierlichen Größen der Geometrie und Natur entsprechen
kontinuierliche Zahlen." (Oliver Deiser: "Reelle Zahlen: Das
klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen")

Mit freundlichen Grüßen
Ivan Panchenko

Ähnliche fragen