Das Kalenderblatt 110409

08/04/2011 - 11:55 von WM | Report spam
In June 1905 Nelson sent a letter to Hessenberg {{dieser Filou erfand
die Menge, die ein Element nur dann enthàlt, wenn sie es nicht
enthàlt, und die deshalb nicht existiert; er aber sah in der
Nichtexistenz dieser Menge im Bild der natürlichen Zahlen einen Beweis
für die Überabzàhlbarkeit von derlei Mengen}} commenting on Hilbert’s
lecture "Uber die Grundlagen der Arithmetik", and he expressed his
disappointment about Hilbert’s ideas. Rather perplexed he wrote: “To
remove the contradictions in set theory, he [i.e., Hilbert] intends to
reform (not set theory but) logic. Well, we shall see, how he will do
it.” Hessenberg answered quite to the point:

"I do not at all consider it as paradoxical that one has to reform
logic
in order to make set theory free of contradictions. First of all it is
not
yet possible to separate logic sharply from arithmetical
considerations.
Secondly, however: If there are paradoxes in set theory, then either
the
inferences are not correct or the concepts generated are
contradictory." {{Das Vertrauen in die Unfehlbarkeit war also schon in
dieser Frühzeit stark ausgepràgt.}}

In both cases, Hessenberg continued, it is a logical task to uncover
the mistakes. According to the laws of logic a thing a falls under the
concept b or
not. No other principle is needed for the concept of a set. {{Das ist
nicht überall so. Ein unendlicher Pfad ist nicht im Binàren Baum
lokalisierbar, obwohl jeder seiner Knoten dort lokalisierbar ist. Ob
der Pfad damit zum Binàren Baum gehört oder nicht, hàngt von den
Intentionen des Pfadfinders ab.}} Hessenberg stressed that Hilbert
very much strengthened the requirements for building concepts in order
to avoid the resulting paradoxes.

In Hilbert’s lecture course Nelson learned more about the paradoxes,
not
about Russell’s, but about its Göttingen variation, Zermelo’s paradox,
and
about Hilbert’s paradox. It is instructive to observe the growing
significance
of Russell’s name in the correspondence between Hessenberg and Nelson.
In
June 1905 Hessenberg, who was at that time going to write his textbook
on set theory, recalled that Nelson had spoken about “Hilbert’s
paradox of
the set of sets that belong to themselves,” obviously misconceiving
what
Nelson had told him. In the same month Nelson directed Hessenberg’s
interest towards Russell’s Principles of Mathematics, a book in which
the
foundations of all mathematical disciplines and especially of set
theory were
discussed, as Nelson wrote. In February 1906 Nelson sent Russell’s
book
to Hessenberg whose judgement on its set-theoretical parts was,
however,
scathing. He had found almost nothing that made any impression on him.
{{Unter den Urteilen von Mengenlehrern waren also schon immer
unzuverlàssige ...}} He regarded Russell’s logicistic standpoint
(contrary to that of Dedekind) as utterly ridiculous {{...
unzutreffende, überhebliche, làcherliche, dumme ...}}, and criticized
that Russell expatiated “the completely vague contradiction of the set
of all sets not being subsets of themselves in a whole chapter, but
found only a few unimportant words on the considerable contradiction
of the set of all ordinals.” {{... und in jedem Falle irrelevante. Das
hat sich bis heute nicht geàndert.}}

[Volker Peckhaus: "Paradoxes in Göttingen", p. 10f]
http://kw.uni-paderborn.de/fileadmi...oad/pg.pdf
 

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#1 Ralf Bader
08/04/2011 - 20:14 | Warnen spam
WM wrote:

In June 1905 Nelson sent a letter to Hessenberg {{dieser Filou erfand
die Menge, die ein Element nur dann enthàlt, wenn sie es nicht
enthàlt, und die deshalb nicht existiert; er aber sah in der
Nichtexistenz dieser Menge im Bild der natürlichen Zahlen einen Beweis
für die Überabzàhlbarkeit von derlei Mengen}}



Was Sie hier gewohnt hirnverbrannt befaseln, geht mathematisch so:
Sei M eine Menge (etwa die Menge der natürlichen Zahlen), f.M->PM eine
Abbildung in deren Potenzmenge, A_f := {m e M | m !e f(m) }. Angenommen, es
wàre A_f = f(m0), für ein m0 e M. Dann wàre m0 e A_f <=> m0 !e f(m0) <=>
m0 !e A_f. Das ist ein Widerspruch, folglich kann A_f nicht im Bild von f
liegen, und f nicht surjektiv sein. Ob M endlich oder unendlich ist, spielt
dabei erkennbar (für Mathematiker, für Sie mag das anders sein, Mückenheim)
keine Rolle.

Sie haben also nun erkannt, Mückenheim, daß diese Argumentation konfuser
Unsinn ist. Diese Erkenntnis sollten Sie dringend Ihrem Freund Herrn
Zeilberger mitteilen, der sich einbildet, in Ihrem neuesten Büchlein hàtten
Sie die Widersprüchlichkeit des Begriffs "aktual unendlich" nachgewiesen.
Verstàndlicherweise tut sich Herr Zeilberger, trotz der Virtuositàt, mit
der er auf dem Gebiet der finiten Kombinatorik zu Werke geht, als
geschworener Ultrafinitist mit dem Unendlichen schwer. Ich weiß zwar nicht,
welches Pseudoargument in Ihrem Büchlein erscheint, aber es wird wohl
keines sein, mit dem Sie nicht schon hier ad nauseam herumgenervt hàtten.
Es wàre deshalb sinnvoll, wenn Sie auch Ihre Erkenntnisse über das
Hessenbergsche Argument Herrn Zeilberger mitteilen würden. Da sich dieses
in einem zumindest potentiell endlichen Bereich abspielt, müßte es auch
Herrn Zeilberger verstàndlich sein, und an Ihrer dummen Kommentierung kann
er dann möglicherweise erkennen, daß er einem Scharlatan aufgesessen ist.

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