Das Kalenderblatt 110410

09/04/2011 - 09:25 von WM | Report spam
Diese Überlegungen zeigen Widersprüche in der transfiniten Mengenlehre
auf, die andererseits durch den Beweis von HESSENBERG gestützt
erscheint. Doch das ist ein Trugschluss. HESSENBERGs Beweis greift
nicht, denn er kann auch zwischen Mengen gleicher Màchtigkeit geführt
werden. Auch hier kann man Beispiele konstruieren für die es keine
Möglichkeit gibt, eine /Zahl/ n_0 auf die Menge N /aller Zahlen/
abzubilden, welche in ihren Bildern M_n nicht enthalten sind (s. S.
98). Ein einfaches Beispiel verdeutlicht dies. Die Menge {1, a}, wo a /
keine/ Zahl ist, möge auf die gleichmàchtige Potenzmenge {{ }, {1}}
der Menge {1} abgebildet werden. Es sind überhaupt nur zwei surjektive
Abbildungen möglich, die wir als f und g auflisten können:

f: a --> { } und 1 --> {1}
g: a --> {1} und 1 --> { }

Unter f ist N = { }, denn die einzige Zahl 1 der Urbildmenge wird auf
eine Menge {1} abgebildet, in der sie selbst enthalten ist. Unter g
ist N = {1}, denn die einzige Zahl 1 der Urbildmenge wird auf die
leere Menge { } abgebildet, die kein Element und damit auch nicht die
Zahl 1 enthàlt.

Die mit Hilfe von /Zahlen/ definierte Menge /N/ besitzt keine /Zahl/
als Urbild – und das ist unabhàngig von den Màchtigkeiten der
beteiligten Mengen.

[W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 6. Auflage, Maro-
Verlag, Augsburg (2011)]
https://www.maroverlag.de/book.php?...c2c&id$3

Gruß, WM
 

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#1 WM
09/04/2011 - 10:53 | Warnen spam
On 9 Apr., 09:25, WM wrote:

Anmerkung:

Selbstverstàndlich setzt auch das Hessenbergesche Argument das
Unendliche als aktual voraus, denn ohne die vollstàndige Menge N aller
natürlichen Zahlen, die auf sie nicht enthaltende Mengen abgebildet
werden, kann auch keine natürliche Zahl auf diese Menge N abgebildet
werden.

Im potentiell Unendlichen funktioniert die Abbildung so:
Eine bei der Abbildung bislang noch nicht verwandte natürliche Zahl k
wird auf die Menge N_k aller bis dato benutzten natürlichen Zahlen,
die nicht auf sie selbst enthaltende Mengen abgebildet wurden,
abgebildet. Da k nicht in N_k enthalten sein kann, vergrößert sich die
Menge aller bis dato benutzten natürlichen Zahlen, die nicht auf sie
selbst enthaltende Mengen abgebildet wurden, auf N_(k+1) = N_k U {k}.
Natürlich steht noch eine weitere natürliche Zahl zur Verfügung, die
auf diese Menge abgebildet werden kann. Und das geht immer so weiter.
Wàre es anders, wàren die natürlichen Zahlen keine unendliche Menge.

Hessenbergs "Beweis" setzt demnach ebenso wie alle anderen "Beweise"
von Cantors Theorem das vollendete Unendliche voraus, das ein
nüchterner Mathematiker nicht akzeptieren kann - nicht weil er aus
persönlichen Gründen eine Aversion dagegen entwickeln würde, sondern
ganz einfach, weil es Unsinn ist.

Gruß, WM

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