Das Kalenderblatt 110420

19/04/2011 - 08:58 von WM | Report spam
Wenn abzàhlbar-unendliche Mengen Schritt für Schritt konstruiert
werden können, weil "und so weiter" nicht wirklich "und so weiter"
bedeutet (vgl. KB 110411), dann kann die Menge aller natürlichen
Zahlen Schritt für Schritt konstruiert werden:

{1}, {1,2 }, { 1,2,3 }, ...

Der Binàre Baum kann dann auch Schritt für Schritt konstruiert werden.
Dabei muss man sich die Schritte nicht kinematisch aneinandergereiht
vorstellen. Die Menge aller Anfangsabschnitte, die wir hier des
komplizierten Ausfbaues wegen als Konfigurationen bezeichnen,

0,
____________________

0,
/
0
____________________

0,
/ \
0 1
____________________

0,
/ \
0 1
/
0 ...
____________________


existiert wie jede Menge statisch. Die Differenz zweier
aufeinanderfolgender Konfigurationen ist genau ein Knoten und macht -
im Endlichen - maximal einen endlichen Pfad aus.

Die Potenzmenge eines Anfangsabschnittes {1,2, 3, ...,n} der
natürlichen Zahlen wàchst bei Hinzufügung einer weiteren Zahl n+1
immer stàrker an, nàmlich um 2^n Elemente.

Beispiel: Die Menge {1,2,3} besitzt 8 Teilmengen:

{ }, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

Die Menge {1,2,3,4} besitzt 16 Teilmengen:

{ }, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3},
{4 }, {1,4}, {2,4}, {1,2,4}, {3,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}

Der Zuwachs wird schließlich riesig. Deswegen ist es psychologisch
verstàndlich, dass manche Mathematiker eine aktual überabzàhlbare
Potenzmenge für "realisierbar" halten und glauben, dass
"überabzàhlbar" viel mehr als "abzàhlbar" ist.

Dieser Irrtum ist bei Betrachtung des Binàren Baums ausgeschlossen,
denn hier wàchst die Menge der möglichen Untermengen pro Knoten um
genau eine. Interpretiert man die oben angegebenen Teilmengen von
{1,2,3,4} als Binàrbrüche mit Ziffer 1 an der durch die in der Menge
vorhandenen natürlichen Zahlen indizierten Stellen und Ziffer 0 sonst,
so ergibt sich in derselben Reihenfolge geordnet die Menge der
Binàrbrüche:

0,
0,1
0,01
0,11
0,001
0,101
0,011
0,111
0,0001
0,1001
0,0101
0,1101
0,0011
0,1011
0,0111
0,1111

Alles, was über das Unendliche behauptet wird, muss anhand der
Konfigurationenfolge erklàrbar und nachweisbar sein. Dazu gehören alle
unendlichen Knotenkombinationen (die isomorph zur Menge aller reellen
Zahlen des Einheitsintervalls sind). Es scheint, dass die Menge der
reellen Zahlen, die durch Pfade im Binàren Baum dargestellt werden,
die ihrerseits ausschließlich durch Knoten definiert sind, nicht
größer als abzàhlbar unendlich sein kann.

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
20/04/2011 - 14:47 | Warnen spam
Am 19.04.2011 08:58, schrieb WM:

[...]

Die Potenzmenge eines Anfangsabschnittes {1,2, 3, ...,n} der
natürlichen Zahlen wàchst bei Hinzufügung einer weiteren Zahl n+1
immer stàrker an, nàmlich um 2^n Elemente.

Beispiel: Die Menge {1,2,3} besitzt 8 Teilmengen:

{ }, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

Die Menge {1,2,3,4} besitzt 16 Teilmengen:

{ }, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3},
{4 }, {1,4}, {2,4}, {1,2,4}, {3,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}

Der Zuwachs wird schließlich riesig. Deswegen ist es psychologisch
verstàndlich, dass manche Mathematiker eine aktual überabzàhlbare
Potenzmenge für "realisierbar" halten und glauben, dass
"überabzàhlbar" viel mehr als "abzàhlbar" ist.



Schön, dass mal wieder jemand an der These, die Potenzmenge sei nicht
abzàhlbar, zweifelt. Ich habe nie verstanden, weshalb 2^n nicht "abzàhlbar"
sein sollte, es sei denn, man setzt für n eine Nichtzahl ein. Aber mit
Nichtzahlen kann man ja ohnehin nicht rechnen. Deshalb scheint mir auch der
laxe Gebrauch des Unendlichzeichens wenig sinnig, genau genommen fehlerhaft.
Man kann weder bis +oo noch von -oo an rechnen. Warum schreibt man es dann
aber hin?

[...]

Gruß, WM



Rudolf Sponsel, Erlangen

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