Das Kalenderblatt 110427

26/04/2011 - 11:33 von WM | Report spam
Frege was still unhappy with the constructions of Weierstrass, Heine,
Cantor, Thomae and Dedekind. How did one know. he asked, that the
constructions led to systems which would not produce contradictions?
He wrote in 1903: "This task has never been approached seriously, let
alone been solved."
Frege, however, never completed his own version of a logical
framework. His hopes were shattered when he learnt of Russell's
paradox. Hilbert had taken a totally different approach to defining
the real numbers in 1900. He defined the real numbers to be a system
with eighteen axioms. Sixteen of these axioms define what today we
call an ordered field, while the other two were the Archimedean axiom
and the completeness axiom. The Archimedean axiom stated that given
positive numbers a and b then it is possible to add a to itself a
finite number of times so that the sum exceed b. {{Man sollte meinen,
dass dieses Axiom nur bei einem realistischem Mathematikverstàndnis
wie dem Matherealismus zur Überwindung materieller Schranken gebraucht
würde. Hatte Hilbert (im Widerspruch zum folgenden Text und allem, was
man über ihn weiß, doch) diesbezügliche Befürchtungen?}} The
completeness property says that one cannot extend the system and
maintain the validity of all the other axioms. This was totally new
since all other methods built the real numbers from the known rational
numbers. Hilbert's numbers were unconnected with any known system. It
was impossible to say whether a given mathematical object was a real
number. Most seriously, there was no proof that any such system
actually existed. If it did it was still subject to the same questions
concerning its consistency as Frege had pointed out.
By the beginning of the 20th century, then, the concept of a real
number had moved away completely from the concept of a number which
had existed from the most ancient times to the beginning of the 19th
century, namely its connection with measurement and quantity. {{Das
dürfte sich zwar in der Matheologie als nützlich bestàtigen, in der
Anwendung der Mathematik aber nicht. Ohne Bezug der reellen Zahlen zur
Realitàt wàre die Mathematik nichts weiter als ein Orchideenfach.}}
[J.J. O'Connor and E.F. Robertson: "The real numbers: Stevin to
Hilbert"]
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk...ers_2.html
Gruß, WM
 

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#1 Albrecht
26/04/2011 - 13:49 | Warnen spam
On 26 Apr., 11:33, WM wrote:

Ohne Bezug der reellen Zahlen zur
Realitàt wàre die Mathematik nichts weiter als ein Orchideenfach.



Auch so ein Phaenomen (das fuer sich schon Baende spricht):
Mathematik ohne ihre Anwendbarkeit gaebe es nicht - oder wuerde
hoechstens als eine Art "l'art pour l'art" ein Schattendasein als
Spielzeug in exklusiven kleinen Kreisen sein Dasein fristen. Und doch
wird immer wieder und gegen jede vernuenftige Argumentation behauptet,
dass Mathematik nichts mit der Welt zu tun haette und nichts uber die
Welt aussage.

(Wie kuerzlich wieder R. Franzius:
https://groups.google.com/group/de....ode=source
)

Die Realitaet bezeugt ausdruecklich das Gegenteil. Dennoch wird am
Mythos der Mathematik, die ohne jeden Bezug zur Realitaet existierte,
festgehalten, wie etwa auch an dem Mythos, dass es einen definiten,
unendlichstelligen Dezimalbruch, also einen Bruch mit unendlich
grossem Nenner und Zaehler, gaebe(bzw. sogar mehr als unendlich
viele).

Beides Behauptungen die durch nachweisbare Fakten oder einfachste
Argumentationen leicht als Unsinn decouvriert werden. Aber niemand
will die Wahrheit sehen.
In der modernen Auspraegung der Mathematik ist offensichtlich der
Glaube wichtiger als das Wissen.

AS

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