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Das Kalenderblatt 110607

06/06/2011 - 08:46 von WM | Report spam
Die Hessenbergpredigt, 1. Hauptstück: Von den gesetzlosen Zahlen.

In § 18 bewiesen wir den Satz der endlichen Bezeichnung, daß eine
Menge, in der jedes Element durch eine endliche Zusammenstellung von
Zeichen eindeutig beschrieben werden kann, abzàhlbar ist. Umgekehrt
ist auch jede abzàhlbare Menge einer endlichen. Bezeichnung fàhig, da
ihre Elemente nummeriert werden können.
Das Kontinuum ist demnach einer endlichen Bezeichnung nicht fàhig,
ebensowenig die zweite Zahlklasse oder die Menge aller stetigen
Funktionen, geschweige denn die aller Funktionen. -
Jede Definition ist eine endliche Bezeichnung. Denn alles was in
Worten ausgesprochen werden kann, làßt sich schreiben und drucken,
also durch eine endliche Anzahl von Zeichen eindeutig beschreiben.
Hierauf beruht folgendes Sophisma: Jede irrationale Zahl bestimmt
eindeutig einen unendlichen Kettenbruch, dessen unendliche
Ziffernreihe als solche natürlich nicht gegeben sein kann {{außer in
Cantorschen Listen - dort definiert die Diagonale angeblich eine
unendliche Ziffernreihe als solche}}. Vielmehr muß ein Bildungsgesetz
für diese Ziffern (Nenner) vorliegen, das, wie kompliziert es auch
sei, jedenfalls durch eine endliche Anzahl von Buchstaben des
Alphabets geschrieben oder gedruckt werden kann. Die Menge der
Irrationalzahlen ist also einer endlichen Bezeichnung fàhig, d. h.
abzàhlbar, gegen unseren früheren Beweis ihrer Nicht-Abzàhlbarkeit. -
Der Fehlschluß liegt in der Annahme {{Diese Wendung ist nicht
untypisch für den überzeugten Matheologen, der sich überhaupt nicht
vorstellen kann, dass die Matheologie falsch sein könnte. Deswegen
erkennt Hessenberg hier auch keine Notwendigkeit, darauf hinzuweisen,
dass das Sophisma seiner Meinung nach als falsch zu qualifizieren sei.
Es kann bei seiner beschrànkten Denkweise allein um die Frage gehen,
an /welcher Stelle/ das Sophisma falsch ist.}}, daß zu jeder
Irrationalzahl ein "Bildungsgesetz" bekannt sei. Man bestàtigt leicht,
daß dies nicht zutrifft; es folgt auch sofort aus der korrekten
Durchführung unseres Schlusses.
Trotzdem liegt in dem Sophisma eine Schwierigkeit verborgen; nur
führt sie nicht zu Paradoxien {{Gott bewahre! Weshalb sollten Zahlen,
also freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, die als ein Mittel
dienen, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schàrfer
aufzufassen (Dedekind), denn selber leicht und scharf auffassbar sein?
Das wàre doch eindeutig zuviel verlangt!}} und ist schwer in Worte zu
fassen {{wenn endlich viele Wörter versagen, dann empfehle ich,
unendlich viele zu Wörter zubenutzen - am Ende ist garantiert jeder
Opponent überzeugt}}. Irrationalzahlen wie Wurzel aus 2 und pi
betrachten wir als gegeben, weil sie definiert sind. Alle in diesem
Sinne "gegebenen" Irrationalzahlen bilden eine abzàhlbare Menge {{?}}:
es existieren darum Irrationalzahlen, die nicht gegeben sind.
{{Falsch! Der HERR hat sie alle geschaffen, und wer an den HERRN
glaubt, dem wird gegeben.}} Praktisch liegt darin keine Schwierigkeit:
{{Einzig und allein Mathematiker, die mit dem HERRN nichts zu tun
haben möchten oder sich bei Ihrem Tun nicht auf den HERRN verlassen
möchten, müssten wohl darauf verzichten. Doch ist es schon richtig,
praktisch liegt darin keine Schwierigkeit, weil diese Zahlen selbst
vom HERRN vor dem Ende der Ewigkeit nicht benutzt werden.}} Wir haben
es noch nicht nötig gehabt, uns mit ihnen zu beschàftigen {{Richtig!
Außer als Statisten für die Überabzàhlbarkeitsoper werden die in der
Endlichkeit ungegebenen Zahlen nirgendwo gebraucht.Deswegen werden wir
es auch niemals nötig haben, uns mit diesen Geisterzahlen zu
beschàftigen. Das ist ein großes Glück für die Mathematik, denn wir
könnten es gar nicht - selbst wenn wir wollten. Und darum dürfte man
ohne Schaden für die Mathematik die Akten über diesen "Zahlen"
schließen. Leider wird das noch nicht von allen so gesehen. Deswegen
folgen noch weitere Kalenderblàtter.}}.

[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den „Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 93]

Gruß, WM

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/
 

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#1 Michael Klemm
06/06/2011 - 11:20 | Warnen spam
WM wrote:

Irrationalzahlen wie Wurzel aus 2 und pi
betrachten wir als gegeben, weil sie definiert sind. Alle in diesem
Sinne "gegebenen" Irrationalzahlen bilden eine abzàhlbare Menge {{?}}:



Ja, sogar eine endliche Menge. Die Elemente haben auch
nicht unbedingt unterschiedliche Namen, vgl. die Personen
mit dem Namen Wolfgang Mückenheim.
Trotzdem kann man zum Beispiel problemlos sagen,
dass alle diese Personen mànnlich sind.

Gruß
Michael

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